Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения sinx=a,cosx=a,tgx=a,ctgx=asinx=a,cosx=a,tgx=a,ctgx=a, где xx — угол, который нужно найти, aa — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение sinx=asinx=a.

При |a|>1|a|>1 не имеет решений.

При |a|≤1|a|≤1 имеет бесконечное число решений.

Формула корней: x=(−1)narcsina+πn,n∈Zx=(-1)narcsina+πn,n∈Z

Таблица арксинусов

2. Уравнение cosx=acosx=a

При |a|>1|a|>1 — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При |a|≤1|a|≤1 имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: x=±arccosa+2πn,n∈Zx=±arccosa+2πn,n∈Z

Таблица арккосинусов

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение tgx=atgx=a

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях aa.

Формула корней: x=arctga+πn,n∈Zx=arctga+πn,n∈Z

Таблица арктангенсов

4. Уравнение ctgx=actgx=a

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях aa.

Формула корней: x=artga+πn,n∈Zx=artga+πn,n∈Z

Таблица арккотангенсов

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса: Для косинуса:

Для тангенса и котангенса

:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

o с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;

o решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: 2cos2(x+π6)−3sin(π3—x)+1=02cos2(x+π6)-3sin(π3—x)+1=0

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

2cos2(x+π6)−3cos(x+π6)+1=02cos2(x+π6)-3cos(x+π6)+1=0,

делаем замену: cos(x+π6)=ycos(x+π6)=y, тогда 2y2−3y+1=02y2-3y+1=0,

находим корни: y1=1,y2=12y1=1,y2=12, откуда следуют два случая:

1. cos(x+π6)=1cos(x+π6)=1, x+π6=2πnx+π6=2πn, x1=−π6+2πnx1=-π6+2πn.

2. cos(x+π6)=12cos(x+π6)=12, x+π6=±arccos12+2πnx+π6=±arccos12+2πn, x2=±π3−π6+2πnx2=±π3-π6+2πn.

Ответ: x1=−π6+2πnx1=-π6+2πn, x2=±π3−π6+2πnx2=±π3-π6+2πn.