2020-07-12
136
Геометрически решить следующую задачу ВП: найти минимум функции 
при ограничениях:
Решение. Строим область допустимых решений данной задачи:
а) х12 + х22 = 4 - окружность с центром в начале координат и радиусом r= 2. (рис. 4). Область решений неравенства 
состоит из точек, лежащих внутри этой окружности и на ней самой;
б) х1 = 2х2 - прямая, которую можно построить, например, по точкам (0; 0) и (2; 1). Область решений неравенства 
- полуплоскость, лежащая над этой прямой, включая и саму прямую;
в) х2 = 2х1 - прямая, которая строится, например, по точкам (0; 0) и (1; 2). область решений неравенства х2 ≤ 2х1 - полуплоскость, лежащая под этой прямой, включая и саму прямую. Таким образом, с учетом условий неотрицательности переменных, областью допустимых решений данной задачи является замкнутый сектор ОАВ (рис. 4).
Теперь построим линию уровня функции z и определим направление убывания z. все линии уровня имеют 
, т.е. 
. При 
получаем линию, уровня 
- это окружность с центром в точке О1(1; 1) и радиусом 
. Ясно, что в любой точке этой линии уровня при перемещении от центра окружности О1 функция z возрастает, а при перемещении к центру - убывает.
|
|
|
Рис. 4
Таким образом, минимум z достигается в точке (1; 1), 
(нетрудно убедиться, что точка (1; 1) является стационарной точкой функции z).
