Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление изучает определение, свойства и применение производных функций. Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Для заданной функции и точки из области её определения производная в этой точке является способом кодирования мелкомасштабного поведения этой функции вблизи этой точки. Найдя производную функции в каждой точке в области определения, можно определить новую функцию, называемую производной функцией или просто производной от исходной функции. На математическом языке производная является линейным отображением, на входе которого одна функция, а на выходе другая. Это понятие является более абстрактным, чем большинство процессов, изучаемых в элементарной алгебре, где функции обычно имеют на входе одно число, а на выходе другое. Например, если для функции удвоения задать на входе три, на выходе будет шесть; если для квадратичной функции задать на входе три, на выходе будет девять. Производная же может иметь квадратичную функцию в качестве входа. Это означает, что производная берёт всю информацию о функции возведения в квадрат, то есть: при входе два, она даёт на выходе четыре, три преобразует в девять, четыре — в шестнадцать и так далее, и использует эту информацию для получения другой функции. (Производной квадратичной функции является как раз функция удвоения.)

Наиболее распространенным символом для обозначения производной является апострофо-подобный знак, называемый штрихом. Таким образом, производная функции f есть f′, произносится «f штрих». Например, если f (x) = x ² является функцией возведения в квадрат, то f′ (x) = 2 x является её производной, это функция удвоения.

Если входом функции является время, то производная представляет собой изменение по времени. Например, если f является функцией, зависящей от времени, и она даёт на выходе положение мяча во времени, то производная f определяет изменение положения мяча по времени, то есть скорость мяча.

Если функция является линейной (то есть, если графиком функции является прямая линия), то функцию можно записать в виде y = mx + b, где x — независимая переменная, y — зависимая переменная, а b — это y -отсечка, при этом:

{\displaystyle m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}

Это выражение даёт точное значение угла наклона прямой линии. Если график функции не является прямой линией, то изменение y делённое на изменение x меняется от точки к точке. Производная даёт точный смысл понятия изменения выходного значения по отношению к изменению входа. Чтобы быть конкретным, пусть f есть функция, и мы фиксируем точку a в области определения f. (a, f (a)) является точкой на графике функции. Если h — близкое к нулю число, то a + h является числом, близким к a. Поэтому точка (a + h, f (a + h)) близка к точке (a, f (a)). Угол наклона между этими двумя точками равен:

{\displaystyle m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}

Это выражение называется разностным соотношением. Линия, проходящая через две точки на кривой, называется секущей линией, поэтому m является углом наклона секущей линии между (a, f (a)) и (a + h, f (a + h)). Секущая является лишь приближением к поведению функции в точке, поскольку она не учитывает поведение функции между точками a и (a + h, f (a + h)). Определить это поведении, установив h равным нулю, невозможно, поскольку потребовалось бы делить на ноль, что исключено. Производная определяется путём перехода к пределу при h стремящемся к нулю, что означает, что он рассматривает поведение f для всех малых значениях h и выделяет приемлемое значение для случая, когда h равно нулю:

{\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.}

Геометрически производная равна углу наклона касательной к графику функции f в точке a. Касательная является пределом секущих линий, так же как производная является пределом разностных соотношений. По этой причине производную иногда называют наклоном функции f.

Вот конкретный пример, производная функция возведения в квадрат в точке 3. Пусть f (x) = x ² является квадратичной функцией.{\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6.\end{ali

Наклон касательной к квадратичной функции в точке (3;9) равно 6, то есть она растёт вверх в шесть раз быстрее, чем отклоняется право. Вычисление предела, описанное выше, можно выполнить для любой точки в области определения квадратичной функции. Это определяет производную функцию или просто для краткости производную от функции возведения в квадрат. Проведённые расчёты показывают что производная квадратичной функции есть функция удвоения.

3.1 Интегральное исчисление

Интегральное исчисление — это изучение определения, свойств и применения двух взаимосвязанных понятий: неопределённого интеграла и определённого интеграла. Процесс поиска значения интеграла называется интегрированием. В технических терминах интегральное исчисление является исследованием двух связанных линейных операторов.

Неопределённый интеграл является первобразной, то есть операцией, обратной к производной. F является неопределённым интегралом от f в том случае, когда f является производной от F. (Это использование прописных и строчных букв для функции и её неопределённого интеграла распространено в исчислении).

Определенный интеграл входной функции и выходных значений есть число, которое равно площади поверхности, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и двумя отрезками прямых линий от графика функции до оси абсцисс в точках выходных значений. В технических терминах определённый интеграл есть предел суммы площадей прямоугольников, называемой суммой Риммана.

Примером из физики является вычисление пройденного расстояния при ходьбе в любой момент времени.

{\displaystyle \mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time} }

Если скорость постоянна, достаточно операции умножения, но если скорость меняется, то мы должны применить более мощный метод вычисления расстояния.

Одним из таких методов является приблизительное вычисление путём разбивки времени на отдельные короткие промежутки. Умножая затем время в каждом интервале на какую-либо одну из скоростей в этом интервале и затем суммируя все приблизительные расстояния (сумма Римана), пройденные в каждом интервале, мы получим полное пройденное расстояние. Основная идея состоит в том, что если использовать очень короткие интервалы, то скорость на каждом из них будет оставаться более или менее постоянной. Тем не менее, сумма Римана даёт только приблизительное расстояние. Чтобы найти точное расстояние, мы должны найти предел всех таких сумм Римана.

Если f(x) на диаграмме слева представляет изменение скорости с течением времени, то пройденное расстояние (между моментами a и b) есть площадь заштрихованной области s.

Для приближённой оценки этой площади возможен интуитивный метод, состоящий в разделении расстояния между a и b на некоторое число равных отрезков (сегментов) длиной Δx. Для каждого сегмента мы можем выбрать одно значение функции f (x). Назовём это значение h. Тогда площадь прямоугольника с основанием Δx и высотой h даёт расстояние (время Δx умноженной на скорость h), пройденное в этом сегменте. С каждым сегментом связывается среднее значение функции на нём f(x) =h. Сумма всех таких прямоугольников даёт приближение площади под кривой, которая является оценкой общего пройденного расстояния. Уменьшение Δx даст большее количество прямоугольников и в большинстве случаев будет лучшим приближением, но для получения точного ответа мы должны вычислить предел при Δx стремящемся к нулю.

Символом интегрирования является {\displaystyle \int }, удлиненная буква S (S означает «сумма»). Определённый интеграл записывается в виде:

{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}

и читается: «интеграл от a до b функции f от x по x». Предложенное Лейбницем обозначение dx предназначено для разделения площади под кривой на бесконечное число прямоугольников, таких, что их ширина Δx является бесконечно малой величиной dx. В формулировке исчисления, основанного на пределах, обозначение

{\displaystyle \int _{a}^{b}\ldots \,dx}

должно пониматься как оператор, который принимает на входе функцию и даёт на выходе число, равное площади. dx не является числом и не умножается на f(x).

Неопределённый интеграл, или первообразная, записывается в виде:

{\displaystyle \int f(x)\,dx.}

Функции, отличающиеся на константу, имеют те же производные, и, следовательно, первообразная данной функции на самом деле является семейством функций, отличающиеся только константой. Поскольку производная функции y = x ² + C, где C — любая константа, равна y′ = 2 x, то первообразная последней определяется по формуле:

C{\displaystyle \int 2x\,dx=x^{2}+C.}