Итоговая контрольная работа за 1 курс.(2020)

Тригонометрическое уравнение — уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.

Уравнения вида sinx=a,cosx=a,tgx=a,ctgx=a называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Уравнение cosx=a

Если |a|>1, то уравнение cosx=a не имеет корней.

Например, уравнение cosx=−1,5 не имеет корней.

 

Если |a|≤1, то корни уравнения выражаются формулой x = ±a rccos a+2πk, k∈Z.

Что же такое arccos a? Арккосинус в переводе с латинского означает «дуга и косинус». Это обратная функция.

Если |a|≤1, то arccos a (арккосинус а) — это такое число из отрезка [0;π], косинус которого равен а.

Говоря иначе:

Arccos a= x ⇒ если cos x = a, |a|≤1,x∈[0;π].

Пример:

найти arccos.

Выражение arccos показывает, что косинус угла x равен

( cos x= ).

Далее просто находим точку этого косинуса в таблице тригонометрических значений

Значит, arccos =.

Обрати внимание!

Если cos π/3= , то arccos  =π/3.

В первом случае по таблице тригонометрических значений  определяем значение косинуса, а во втором — наоборот, по значению косинуса находим угол. Движение в обратную сторону. Это и есть арккосинус.

Теорема. Для любого a∈[−1;1] выполняется равенство arccosa+arccos(−a)=π.

Частные случаи:

1. cosx=0⇒x=π/2+πk,k∈Z;

2. cosx=1⇒x=2πk,k∈Z;

3. cosx=−1⇒x=π+2πk,k∈Z.

Пример:

решить уравнение cosx=2/5.

Используем формулу x = ± arccos a+2πk,k∈Z и

получаем ответ     x= ± arccos 2/5+2πk,k∈Z.

2,3 Уравнение sin x = a, tg x = a,

Аналогично  изучаются и решаются уравнения sin x = a, tg x = a, только число а подставляется в свои соответствующие формулы(см. ниже)

 

ПОДГОТОВКА К ЗАЧЕТУ за 1 курс.(1 урок)

Образцы решения

1. 5^2х+3 = 125^х. (показательное уравнение)

Решение: 5^2х+3 = 125^х,        (125 это 5³, заменяем)

      5 ^2х+3 = 5 ^3х,    (если основания степеней одинаковые, то                 

                                   можем их убрать, убираем)

     2х+3= 3х,       (с Х в одну сторону, известные числа в другую сторону)

              2х-3х= -3,       (считаем)

              - 1х= -3, / (-1) (делим на число перед Х)

               х= 3.

   Ответ: х=3

    

2.     log ₄(3х-2) = 3.(логарифмическое уравнение)

Решение: 3х-2=4³     (то, что в скобочках, всегда равно основанию логарифма в   

                                        степени того числа, которому он равен)

              3х-2= 64 (Т.к. 4³=64)

                3х = 64+2     (с Х в одну сторону, известные числа в другую сторону)

                      3х = 66       

                      3х =66/ (3) (делим на число перед Х)

                      х= 22

   Ответ: х=22

 

             

Решите сами

1. 4^6х+8 = 16^х.

2. 3^5х-12 = 27^х.

3. log ₅(3х-2) = 2.

4.    Дано: sin α =  , 0 ≤α ≤  .

Найти: 1) cos α

          2) tg α

         3) ctg α.

 

 

2й урок

 

Итоговая контрольная работа за 1 курс.(2020)

Вариант 1

(задания должны быть решены!!!)

1. Вычислите .

1)                          2)                           3)                           4)

2. Решите уравнение =4

1)                        2)                               3)                        4) 5.

3. Решить уравнение    3^5х-12 = 27^х

1) 2              2) 3       3) -3  4) 6

4. Решите неравенство .

1) х˂3          2) х˃3            3) х˂39            4) х˂19,5

5. Вычислите log ₇ 49

 

1)                          2)7                      3) -2                    4) -7

6.Вычислите log ₆

1)6                    2) -6                      3) -3                    4) 3

 

7. Вычислите .

1)                               2)                                3)                              4)

8. Вычислите

1)                               2)                                3)√2                        4) .