Королю 28 лет, королеве 21 год

Решение. 1 монета.

Кидаем монету в третий автомат. Мы знаем, что на нём неправильная наклейка, как и на всех, поэтому правильная будет либо «Пицца», либо «Вак-беляш». Теперь смотрим, что нам выдаст этот автомат.

Например, он выдал вак-беляш. Значит, правильная наклейка для этого автомата — «Вак-беляш». Теперь нам нужно найти автомат с пиццей среди двух оставшихся.

Мы помним, что все наклейки перепутаны, поэтому там, где будет написано «Пицца», на самом деле этот автомат. «Вак-беляш» тоже уже занят. Поэтому под надписью «Пицца» скрывается автомат, который выдаёт и пиццу, и вак-беляш.

Значит, с наклейкой «Вак-беляш» будет автомат, который выдаёт пиццу.

2. На одном берегу реки сидят и мило общаются о прекрасном три мальчика и три девочки. Пока что они ведут непринуждённые беседы, но все должны будут рано или поздно оказаться на другом берегу. Есть одна лодка, в которую могут поместиться только два человека, но девочки управлять лодкой не умеют, а мальчики умеют. Также нельзя оставлять на одном берегу девочек больше, чем мальчиков, потому что тогда девочки взорвут мозг мальчикам разговорами о макияже и маникюре. Как переправить всех через реку?

Решение.

Для первой поездки есть пять вариантов:

· один мальчик — не подходит, потому что на берегу девочек становится больше и они взорвут мозг;

· два мальчика — не подходит по той же причине;

· одна или две девочки — тоже нет, потому что они не умеют управлять лодкой;

· девочка и мальчик — единственный вариант, который остаётся.

Значит, первым рейсом пара «девочка-мальчик» отправляется на другой берег:

Теперь лодку надо как-то отправить назад. Но так как девочка не умеет ей управлять, то она остаётся на берегу, а мальчик — возвращается. Девочки не взрывают никому мозг.

Теперь прикинем варианты следующего рейса. Мы не можем отправить двух мальчиков, иначе девочки останутся в большинстве, и настанет на левом берегу полный ужас.

Поэтому снова на тот берег уплывают девочка и мальчик. Причём мальчик высаживает девочку, но сам из лодки не вылезает — если так не сделать, то он останется с двумя девочками на том берегу и они увлекут его разговорами.

Таким образом, у нас на том берегу сидят две девочки, а на этом — одна девочка и три мальчика, на которых она вряд ли сможет воздействовать силой дискурса.

Теперь нам нужно сделать выбор, кто поедет на этот раз. Можно отправить снова мальчика и девочку, но тогда на том берегу окажутся три девочки. И безопасно перевезти остальных мальчиков поодиночке уже не получится — девочки всегда будут в большинстве.

Значит, остаётся только один вариант: отправить в путь двух мальчиков. В итоге на том берегу всех будет поровну и всё пройдёт спокойно.

Но лодку надо как-то отправить на другой берег. Нельзя разместить на ней одного мальчика, потому что второй останется в меньшинстве среди девочек. Двум мальчикам ехать обратно тоже не вариант, потому что они только что прибыли.

Поэтому назад отправляются девочка и мальчик.

Теперь единственный безопасный вариант — отправить на тот берег двух мальчиков.

Назад отправим одного мальчика. Чтобы не выходить из лодки, он позовёт в неё девочку и вернётся с ней обратно на тот берег.

Точно так же забираем оставшуюся девочку.

И в итоге вся компания оказывается на том берегу, бездонное небо — над головой, а мозг у всех цел!

3. Самир, Арсений, Тимур и Артур хотят первыми попасть в центр тестирования на отбор в "Сириус", чтобы занять места получше, поэтому решили выйти ночью, чтобы к утру быть уже на месте. Ночь темна, а фонарик один на всех. Тестирование — на другом берегу реки Белой. Мост через реку хлипкий и может выдержать одновременно максимум двоих. Как всем перебраться на другой берег как можно скорее? Скорость перехода моста у каждого своя: проворный Тимур переходит его за 1 минуту, бодренький Арсений — за 2, спокойный Самир — за 5. Артур после усиленной тренировки быстро ходить не может, поэтому тратит на мост 10 минут. Когда мост переходят два человека, их скорость равна скорости самого медленного из пары. Задача — перевести героев на другой берег как можно скорее.

Решение

Самая скоростная пара у нас — Тимур и Арсений, поэтому они с фонариком переходят на другой берег за 2 минуты (скорость Арсения).

Тимур (1) и Арсений (2) → перешли на тот берег за 2 минуты.

Отправляем с фонарём назад самого быстрого из них:

Тимур (1) → вернулся обратно с фонарём за 1 минуту.

Теперь нужно решить, какая пара пойдёт следующей. Так как нам в любом случае нужно отправлять Артура на тот берег, то это гарантированно займёт долгих 10 минут. Чтобы использовать это время оптимально, отправим с ним Самира, который тоже не самый быстрый из всех:

Самир (5) и Артур (10) → перешли на тот берег за 10 минут.

Осталось забрать Тимура с того берега, значит посылаем за ним самого быстрого из доступных — Арсения:

Арсений (2) → вернулся обратно с фонарём за 2 минуты.

И они вдвоём с Тимуром отправляются на тот берег:

Тимур (1) и Арсений (2) → перешли на тот берег за 2 минуты.

Складываем все минуты на мосту: 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17 минут.

4.Мальчик Петя вместо того, чтобы сидеть дома и учить уроки, отправился в путешествие и повстречал сразу двух опасных существ - гадюку и скорпиона. Одно из них его укусило, какое — неизвестно. У него были с собой противоядия, по две таблетки каждого вида: против скорпиона и против гадюки. Одну таблетку нужно принять сразу после укуса, а другую — на следующий день. Петя вытряхнул из упаковки на ладонь одну таблетку от скорпиона (С), стал вытряхивать таблетку от гадюки (Г), но рука дрогнула и из упаковки Г выпали обе таблетки. Теперь у него в руке три абсолютно одинаковые таблетки: одна С, две Г. А ему нужно немедленно принять одну С и одну Г, оставив по второй таблетке каждого противоядия на завтра. Что ему делать, ведь дома так и остались невыученными алгебра и геометрия, а Марья Петровна не принимает никаких отговорок?

Ответ. Если таблетки никак нельзя отличить друг от друга, значит, надо придумать такое решение, которое не потребует анализа всех таблеток.

Задача Петечки — принять одну таблетку от укуса скорпиона и одну от укуса гадюки. На ладони лежат три таблетки, и если мы возьмём любые две, то есть вероятность, что нам попадутся две таблетки от гадюки и тогда противоядие от скорпиона не сработает (Петя же не знает, кто именно его укусил). Значит, нам такой вариант не подходит.

Чтобы сегодня и завтра принять одинаковые порции, Пете нужно к этим трём таблеткам добавить четвёртую, разломать их все пополам и разнести эти половинки по двум разным кучкам. Смысл в том, чтобы в каждой кучке лежало по одной половинке от каждой таблетки. Тогда в обеих будет по две половинки таблетки от скорпиона и по две половинки таблетки от гадюки, а две половины дают как раз целую таблетку.

Получается, что ему сегодня и завтра нужно съесть по 4 половинки, по одной от каждой таблетки.

5. Было 8 сундуков. В некоторые из них положили еще по 8 сундуков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых сундуков. Сколько всего стало сундуков?

Решение. При каждой операции заполняется один пустой ящик. Поскольку стало 10 непустых ящиков, то было проведено 10 операций. При каждой операции добавлялось по 8 ящиков. Поэтому в результате стало 8 + 10·8 = 88 ящиков.

6. В Уфе в некоторой школе ученики имеют в обращении только монеты в 3 и 5 рублей. Пирожки в буфете стоят 4 рубля. Как-то раз перед открытием в буфет выстроилась очередь из 100 страшно голодных учеников. У каждого из них, а также у буфетчицы есть ровно 22 рубля. Докажите, что все ученики смогут купить пирожок в порядке очереди.

Решение. Набрать 22 рубля монетами по 3 и 5  можно единственным способом: две монеты по 5 р и четыре монеты по 3 р. Укажем, как должна действовать буфетчица. У первого посетителя она просит три монеты по 3 р и даёт ему сдачу монетой в 5 р. У второго посетителя буфетчица просит две монеты по 5 р и даёт ему сдачу двумя монетами по 3 р. После этого у буфетчицы монет каждого типа стало на одну больше. Продолжая действовать таким же образом, она сможет обслужить любое количество посетителей.

7. Задача-шутка. Что поднять с земли легко, но трудно кинуть далеко?

Ответ. Пух, перо, бумажка.

День 2. Ссылка https://forms.gle/QeGSHrGVM4DSmvxn8

1. У почтальона есть марки, упакованные по 100 штук в пачке. Он умеет отсчитывать по 5 марок в секунду. Ему нужно приготовить три пачки: по 50, 70 и 80 штук. За какое минимальное время почтальон сможет это сделать.

Ответ. 10 секунд.

Решение. Чтобы получить пачку в 80 марок, достаточно отсчитать 20 за 4 секунды. Чтобы получить 70, можно отсчитать 30 за 6 секунд. Сложив отсчитанные 20 и 30 вместе, получим требуемое.

2. Артур последовательно купил девять ручек на общую сумму 3 рубля. Известно, что любые две последовательных покупки Артура в сумме стоили одинаково. То есть какие две ручки, купленные подряд, ни возьми, в сумме они будут стоить одно и то же количество копеек. Назовите максимально возможную цену одной ручки, купленной Артуром.

Ответ. 70 копеек.

Если первая покупка стоила x, а вторая y, то третья снова стоила x, четвертая снова y, и так далее. По условию, 5x+4y=300. отсюда y делится на 5, и после сокращения на 5 получаем x + 4 ∙ (y: 5) = 60. Так как x не 0, то наименьшая возможная цена x равна 4 копейкам, откуда 4 ∙ (y: 5) не больше 56 копеек, а y – не больше 70 копеек. Если же самым дорогим товаром был бы товар со стоимостью x, то его цена была бы не больше, чем 300: 5 = 60 копеек, что тоже меньше 70 копеек.

3. В это сложное время пандемии один неунывающий класс решил посетить кинотеатр, в котором есть всего 1 ряд кресел. Как известно, во время карантина, требуется соблюдать дистанцию. Всего в ряду 25 мест. Когда входит новый человек, он всегда садится как можно дальше от остальных. Никто не садится на соседнее место рядом с другим: если кто-то входит и видит, что свободных мест мало и надо сесть рядом с кем-то, то он уходит. Кассир хочет получить как можно больше клиентов. У него есть право посадить самого первого посетителя на любое место в ряду. Куда выгоднее посадить первого школьника с точки зрения кассира?

Ответ. Для начала найдём идеальный вариант, который устроил бы кассира. Для этого нарисуем 25 квадратов в ряд и закрасим те, на которых кто-то сидит. Помните, что ни один школьник по задаче не сядет на соседнее место к другому.

У_У_У_У_У_У_У_У_У_У_У_У_У

Получается, что это самая плотная рассадка, которая возможна в этом ряду. Так вместе сидят 13 человек. Осталось только найти место для самого первого ученика.

Для начала попробуем решить эту задачу в лоб и посадим первого ученика на первый стул. Теперь второй ученик должен сесть на свободное место как можно дальше от него, то есть занять стул № 25. Третьему достаётся стул № 13, так как он ровно посередине между этими двумя. Два следующих займут свободные места точно посередине между центральным и боковыми.

И вот тут настаёт момент истины: четыре следующих посетителя тоже сядут точно посередине между занятыми местами. Это значит, что между каждым будет по 2 пустых места:

У_ _ У _ _ У_ _У_ _У_ _У_ _У_ _У_ _У

В итоге у нас занято всего 9 мест, но сесть больше никуда нельзя: у каждого свободного стула есть как минимум один занятый сосед. Значит, этот вариант не подходит. Нужен другой.

Чтобы прийти к правильному ответу, попробуем решать задачу с конца.

Вспомним идеальную рассадку:

Здесь сидит максимальное количество гостей — 13, и между каждым из них есть свободное место. Отмотаем на шаг назад и посмотрим, как могли бы сидеть школьники, чтобы новые ученики сели точно между ними:

У_ _ _У_ _ _У_ _ _У_ _ _У_ _ _У_ _ _У

В этом случае 6 новых гостей садятся точно посередине между занятыми стульями и идеально заполняют все места.

Теперь сделаем ещё шаг назад и посмотрим, как должны сидеть гости, чтобы новые ученики сели на нужные стулья:

У_ _ _ _ _ _ _У_ _ _ _ _ _ _У_ _ _ _ _ _ _У

Получается, что если мы посадим первых четырёх гостей так, как на рисунке выше, то дальше всё будет хорошо. Сделаем ещё шаг назад, чтобы понять, как они смогли так сесть:

_ _ _ _ _ _ _ _У_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _У

Из рисунка видно, что два новых посетителя должны сесть как можно дальше от занятых мест. Для этого один садится ровно посередине между двумя занятыми, а второй — с самого края, на первое место. Таким образом, между всеми ними будет максимально возможное расстояние. Осталось понять, как сели эти первые два школьника.

Если бы первый ученик сел с краю на стул № 25, второму бы пришлось сесть с противоположного края на стул № 1 (мы это разобрали в самом начале, в неправильном варианте). Значит, первый ученик сел на стул № 9, а второму пришлось сесть максимально далеко от него — на самый последний стул. Альтернативный вариант - 9 с другой стороны, то есть 17.

4. Тимурик живет в двадцатиэтажном доме. Однажды Любовь Евгеньевна поставила Тимурику двойку по алгебре, он был в плохом настроении и сломал практически все кнопки в лифте. Остались работать только две: нажав первую, вы поднимаетесь на тринадцать этажей, а нажав вторую, опускаетесь на восемь.Как жильцам попасть с тринадцатого этажа на восьмой?

Ответ. Суть в том, что лифт не может выезжать за границы этажей. То есть если на 13 этаже мы нажмём кнопку «вверх», которая должна поднять лифт на 13 этажей, то он никуда не поедет, потому что 13 + 13 = 26, а в доме столько этажей нет. Значит, единственное, что нам остаётся на первом шаге — нажать «вниз»:

Вниз → 5 (13 - 8).

Здесь 5 — это номер этажа, на который приехал лифт, а цифры в скобках показывают начальный.

С 5 этажа мы можем уехать только вверх. Получается, что каждый раз у нас есть только один вариант, на какую кнопку нажимать. Давайте попробуем применить этот принцип и посмотреть, что получится:

Вниз → 5 (13 - 8).

Вверх → 18 (5 + 13).

Вниз → 10 (18 - 8).

Вниз → 2 (10 - 8).

Вверх → 15 (2 + 13).

Вниз → 7 (15 - 8).

Вверх → 20 (7 + 13).

Вниз → 12 (20 - 8).

Вниз → 4 (12 - 8).

Вверх → 17 (4 + 13).

Вниз → 9 (17 - 8).

Вниз → 1 (9 - 8).

Вверх → 14 (1 + 13).

Вниз → 6 (14 - 8).

Вверх → 19 (6 + 13).

Вниз → 11 (19 - 8).

Вниз → 3 (11 - 8).

Вверх → 16 (3 + 13).

Вниз → 8 (16 - 8).

В итоге за 19 поездок мы добрались до нужного этажа. Самое интересное, что по этим правилам лифт дальше никуда поехать не может: 8 + 13 = 21, а 8 - 8 = 0, что выходит за границы этажей. Придётся всё-таки вызывать мастера и делать ремонт.

5. Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

Ответ. При каждом бросании может быть 2 варианта. То есть, при первом бросании 2 случая, на каждый из них по 2 подслучая (всего 2 · 2 = 4 подслучая), на каждый из подслучаев ещё по 2 подподслучая. Всего будет 2·2·2 = 8 вариантов.

6. В команде КВН 11 человек, нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ. Капитаном может стать любой из 11 человек. После выбора капитана на роль его заместителя могут претендовать 10 оставшихся человек. Таким образом, всего есть 11·10 = 110 разных вариантов.

7. Задача-шутка) Каких камней не бывает в море?)

Ответ. Сухих)

День 3. Ссылка https://forms.gle/YYBcLSxxSK4w8WsM7

1. Каждый день в полдень из Уфы во Владивосток отправляется почтовый поезд и в то же время из Владивостока отходит идущий в Уфу поезд. Каждый из этих поездов находится в пути ровно семь суток, и идут они по одному и тому же пути. Сколько поездов Владивосток-Уфа встретит на своём пути поезд, идущий из Уфы?

Ответ. 15.

Очевидно, что ответ «семь» неверен, так как не учитываются те поезда, которые уже идут в Уфу. Таких поездов 8 (причем один из них только отправляется из Владивостока, а второй прибывает в Уфу). За неделю навстречу уфимскому поезду из Владивостока выйдут еще 7 поездов (последний отправляется в момент прибытия уфимского поезда в город на Дальнем Востоке). Таким образом, число встреченных составов равняется пятнадцати.

2. Аня и Ваня надоили 10 литров молока, разлили его по двум вёдрам и понесли домой. Аня устала и перелила часть молока из своего ведра в ведро Вани. От этого у Ани молока стало втрое меньше, а у Вани – втрое больше. Сколько молока стало у Вани?

Ответ. 7,5.

Пусть Аня, прежде чем перелить молоко Ване, перельёт его в отдельный бидон. По условию, если добавить это молоко Ване, то у того станет втрое больше молока. Значит, сейчас у Ани и Вани молока поровну, а в бидоне молока вдвое больше, чем у каждого из них.
Это значит, что в бидоне сейчас половина всего имеющегося молока, то есть 5 л, а у Ани и Вани – по 2,5 л. Поэтому в конце у Вани стало 2,5 + 5 = 7,5 л.

3. Трое рабочих копают яму. Они работают по очереди, причём каждый из них работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они выкопали яму. Во сколько раз быстрее трое рабочих выкопают такую же яму, если будут работать одновременно?

Ответ. 2,5.

Пусть во время, когда один из рабочих роет основную яму, двое остальных роют дополнительные ямы. Тогда к концу работы над основной ямой будут вырыты еще 3·0,5 = 1,5 дополнительных ямы. Таким образом, когда все работают одновременно, они за тоже время выроют 2,5 ямы.

4. Заумный Петечка объяснял своей жене Манечке: – Сейчас мне вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам теперь. Когда же вам будет столько лет, сколько мне теперь, нам вместе будет 63 года.Интересно, сколько лет каждому из них?

Ответ. Обозначим через t разницу возрастов короля и королевы. Поскольку сейчас королеве столько же лет, сколько было королю "тогда", значит, от "тогда" до "сейчас" прошло тоже t лет, а разница между возрастом короля "сейчас" и королевы "тогда" равна 2 t лет. Следовательно, возраст королевы "тогда" – 2 t, а возраст короля "сейчас" – 4 t. Когда королеве станет 4 t лет, королю будет 5 t лет. И все вместе эти 9 t составят 63 года. Отсюда t = 7.

Королю 28 лет, королеве 21 год.

5. Бараш и Нюша катаются на коньках по кругу. Время от времени Бараш обгоняет Нюшу. После того, как Нюша переменила направление своего движения на противоположное, они стали встречаться в 5 раз чаще. Во сколько раз Бараш бегает быстрее Нюши?

Ответ. Встреча происходит всякий раз, когда Бараш проезжает на длину окружности больше, чем Нюша. Сначала скорость изменения расстояния между ними была равна разности их скоростей. После того как Нюша стала кататься в противоположном направлении, скорость изменения расстояния между ними (равная уже сумме их скоростей) увеличилась в 5 раз. Будем считать, что скорость Бараша в k раз больше скорости Нюши. Получаем уравнение
 5(k – 1) = k + 1,
 решая которое, находим k = 1,5.