Модуль комплексного числа. Его свойства

Степени мнимой единицы.

Вывод: значение степеней числа повторяются с периодом, равным 4.

Множество комплексных чисел обозначается буквой .

– алгебраическая форма комплексного числа, где – действительная часть, - мнимая часть, – коэффициент мнимой части.

Замечание. Знак “+” в алгебраической форме комплексного числа следует понимать не как знак операции сложения, а как некоторый формальный соединительный символ.

О.3. Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные части и коэффициенты их мнимых частей, т.е. если

Примеры комплексных чисел в алгебраической форме:

Операции над комплексными числами в алгебраической форме.

Сложение (вычитание).

Пусть . Тогда

. Найти .

Решение.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

Коммутативность

Ассоциативность

Умножение производится по обычному правилу умножения многочленов.

Пусть .

Тогда

. Найти .

Умножение комплексных чисел обладает свойствами:

Коммутативность

Ассоциативность

Дистрибутивность

3. Умножение на сопряженное число

О.4. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга, только знаками перед мнимой частью.

Числа называются сопряженными.

Например, числа – сопряженные;

числа – сопряженные.

Произведение сопряженных комплексных чисел равно действительному положительному числу, т.е.

4. Деление

Пусть . Тогда

. Найти .

Решение.

Модуль комплексного числа. Его свойства.

О.5. Модулем комплексного числа называется действительное неотрицательное число, равное

Например, для числа найти его модуль.

Свойства модуля комплексного числа:

Первичное закрепление знаний.

Даны числа: и . Назовите для них сопряженные и выполните сложение, вычитание, умножение и деление. В получившихся числа назвать действительную и мнумую части. Посчитать модули этих чисел.