Задачи для самостоятельной работы по теме 7

Решение.

Обозначим случайную величину X – вес случайно отобранного зерна. По условию, X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 0,15 и средним квадратическим отклонением 0,03, т. е. .

а) Процент семян, от которых следует ожидать нормальные всходы – это вероятность получить нормальный всход от взятого наугад зерна. По условию, нормальный всход дают зерна, вес зерна которых удовлетворяет X>0,10. Вероятность этого события:

По таблицам значений функции Лапласа, учитывая, что Ф(-t)=-Ф(t) получим:

Ф(-1,67)=-0,9051, откуда  т. е. от 95,2% семян следует ожидать нормальных всходов.

б) Пусть  – величина, которую не превзойдет вес отдельного зерна с вероятностью 0,99, т. е.

С другой стороны, вероятность , следовательно откуда  и

По таблицам значений функции Лапласа: , откуда получаем

Таким образом, с вероятностью 0,99 вес взятого наугад зерна не будет превышать 0,22 г.

Пример 7.2. Случайные отклонения диаметра детали, выпускаемой цехом, от номинала распределены нормально. Математическое ожидание диаметра детали равно 20 мм, а дисперсия 0,36 мм. Найти:

а) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали имеет размеры от 19 до 22 мм;

б) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 1 мм (по абсолютной величине);

в) границы, в которых с вероятностью 0,9876 следует ожидать величину диаметра детали.

Решение.

Обозначим случайную величину X - диаметр случайно отобранной детали. По условию, X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 20 и дисперсией 0,36, т. е.

А. Вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали имеет размеры от 19 мм до 22 мм, т. е. 19<X<22, определим по формуле:

По таблицам значений функции Лапласа, Ф(3,33)=0,9991 и так как Ф(-t) =-Ф(t): Ф(-1,67)=-0,9051, откуда .

Б. Вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 1 мм (по абсолютной величине), т. е. , определим по формуле:

По таблицам значений функции Лапласа Ф(1,67)=0,9051, следовательно:

В. Пусть  – величина отклонения диаметра случайно отобранной детали от среднего значения,  определяет границы симметричного относительно математического ожидания интервала, в который с вероятностью 0,9876 попадает случайная величина Х, т. е.

С другой стороны, вероятность , следовательно,

По таблицам значений функции Лапласа:  отсюда получаем  Таким образом, с вероятностью 0,9876 диаметр отобранной наугад детали будет находиться в пределах (20-1,5; 20+1,5), т. е. от 18,5 мм. до 21,5 мм.

Пример 7.3. Результат взвешивания химреактива распределен по нормальному закону со средним квадратическим отклонением веса 0,02 г. Какое отклонение массы реактива можно гарантировать с вероятностью 0,2?

Решение.

Обозначим случайную величину Х – масса случайно взвешенного реактива. По условию, X распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 0,02, т. е.

Пусть  – величина отклонения массы случайно взвешенного реактива от среднего значения, s определяет границы симметричного относительно математического ожидания интервала, в который с вероятностью 0,2 попадает случайная величина X, т. е.

С другой стороны, вероятность , следовательно,

По таблицам значений функции Лапласа: , отсюда получаем

Таким образом, с вероятностью 0,2 отклонение массы реактива составит 0,005 г.

 

 

Задачи для самостоятельной работы по теме 7

7.1. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Среднее квадратическое отклонение – 3,6 мм. Найти вероятность того, что:

а) длина наудачу взятой детали заключена в границах от 40 мм до 55 мм;

б) отклонение длины изготовленной детали от проектной по абсолютной величине не превзойдет 5 мм.

7.2. Производится измерение расстояния между двумя пунктами. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону. Найти вероятность того, что измерение расстояния будет произведено с ошибкой не более 60 мм, если среднее квадратическое отклонение составляет 50 мм. (Систематическая ошибка измерения отсутствует.)

7.3. Автомат изготавливает шарики для подшипников. Шарик считается годным, если отклонение его диаметра от проектного не превосходит 0,6 мм. Считая, что диаметр изготовленного шарика есть нормально распределенная величина, среднее квадратическое отклонение которой равно 0,3 мм, найти, сколько годных шари-ков будет среди 100 изготовленных.

7.4. Диаметр валика – случайная нормально распределенная величина, среднее квадратическое отклонение которой равно 5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9545 попадает диаметр валика.

7.5. По цели ведется стрельба из орудия. Средняя дальность полета снаряда составляет 1000 м. Найти долю выпускаемых снарядов, дающих перелет до 60 м, если среднее квадратическое отклонение дальности полета снаряда равно 30 м.

7.6. Известно, что вес клубня картофеля подчиняется нормальному закону с матема­тическим ожиданием 125 г и средним квадратическим отклонением 15г. Найти вероятность того, что вес наудачу взятого клубня будет:

а) не менее 200 г,

б) не более 130 г,

в) от 98 до 146г.

7.7. Ошибка измерительного прибора – случайная величина, распределенная по нормальному закону. Среднее квадратическое отклонение ее равно 4 мк, систематическая ошибка отсутствует. Найти вероятность того, что в 6 независимых измерениях ошибка:

а) превзойдет (по модулю) 3 мк менее 4 раз;

б) хотя бы 1 раз окажется в интервале от 0,6 мк до 2,0 мк.

7.8. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется средним квадратическим отклонением, при данной технологии равным 5 мм. Считая, что отклонение размера детали от номинала есть нормально распределенная случайная величина, найти долю годных деталей, изготовляемых автоматом. Какой должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до 98?

7.9. Деталь изготавливается на станке. Ее размер представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону со средним значением 20 см и дисперсией 0,2 . Какую относительную точность изделия можно гарантировать с вероятностью 0,95?

7.10. В нормально распределенной совокупности 15% значений случайной величины Х меньше 12 и 40% значений больше 16,2. Найти среднее значение и дисперсию этого распределения.