К практическому занятию №1

Задание

К практическому занятию №0

 

Задание № 1

 

Исходная экономическая модель:

Компания производит два вида продукции: А и В. Для этого затрачиваются ресурсы вида 1 и 2, а также денежные средства.

Количество материальных ресурсов вида 1 и 2 и количество денежных средств, затрачиваемых на производство единицы продукции А и В, приведены в таблице.

 

Вид ресурса	Расход ресурса при производстве, у.е./ед. прод.
	А	В
1	15	3
2	4	18
Деньги	10	12

 

На производство продукции А и В компания намеревается затрачивать не менее 50 у.е. и 64 у.е. ресурсов типа 1 и 2 соответственно, а имеющиеся денежные средства не превышают 100 у.е.

Известно, что прибыль от реализации единицы произведённой продукции А и В составляет 15 и 20 у.е. соответственно.

Определить оптимальный план производства продукции А и В, т.е. сколько изделий типа А и В следует изготовить, чтобы рентабельность их производства была максимальной.

 

 

Задание № 2

 

Исходная экономическая модель:

 

Предприятие выпускает два вида продукции A₁ и A₂ и использует при этом три вида ресурсов S₁, S₂ и S₃. Производство продукции, помимо выпуска годной продукции, сопровождается также выпуском некоторого количества брака. Кроме того, благодаря инновациям производителю удалось добиться эффекта масштаба производства, в результате которого с увеличением объёмов выпускаемой продукции снижается ее себестоимость и растет прибыль.

В следующей таблице приведены численные значения затрат ресурсов на производство одной усл. ед. годной продукции (параметры ) и затраты ресурсов на производство одной усл. ед. бракованной продукции (коэффициенты ):

 

 

Ресурсы	Расход ресурсов на производство одной усл. ед. годной () и бракованной () продукции A1 и A2, (усл. ед.)				Ограничения на ресурсы, усл. ед.
	A1		A2
S1	3,5	0,0036	5,7	0,0053	3250
S2	2,7	0,0045	9,3	0,0033	4180
S3	3,2	0,0027	2,8	0,0063	2600

 

Значения прибыли (ден. ед.) от реализации одной усл. ед. продукции без учета (коэффициенты ) и с учетом (коэффициенты ) эффекта масштаба производства приведены в следующей таблице:

 

Прибыль от реализации одной усл. ед. продукции A1 и A2, учитывающая () и не учитывающая () эффект масштаба производства, ден. ед.
A1		A2
110	0,08	135	0,015

 

Найдите оптимальный план производства продукции, т.е. объёмы выпуска годной продукции A₁ и A₂, обеспечивающий максимальную суммарную прибыль.

 

 

Задание № 3

 

Исходная экономическая модель:

 

Небольшая фирма производит принтеры, которые собирает из комплектующих, получаемых от других поставщиков. При этом затрачивается несколько факторов - оборудование нескольких видов, помещения, в которых оно установлено, комплектующие и человеческий труд. Факторы производства агрегированы в два комплексных фактора: K – производственные фонды (помещения, оборудование и комплектующие), измеряемые количеством часов работы и использования в неделю, и L – труд, измеряемый количеством занятых на производстве работников.

Производственная функция фирмы, определяющая количество производимых принтеров в неделю, в зависимости от объемов агрегированных факторов, описывается производственной функцией Кобба-Дугласа

На аренду помещения, обслуживание оборудования, закупку комплектующих, а также на зарплату работников, фирма располагает денежными средствами в объёме C = 180 ден. ед. в неделю. Стоимость 1 часа работы и использования капитала составляет  = 2 ден. ед., а средний недельный размер заработной платы одного работника равен  = 9 ден. ед. Цена, по которой фирма реализует один принтер, равна  = 210 ден. ед.

Определите объёмы факторов производства K, L, при которых недельный доход фирмы будет максимальным.

 

Задание

к практическому занятию №1

 

Задание № 1

Предприятие выпускает два вида продукции. На изготовление продукции затрачивается два вида ресурсов. Запасы ресурсов 1-го вида составляют 160 ед., 2-го вида – 210 ед. Нормы расхода 1-го ресурса, идущего на изготовление единицы продукции равны 2 ед. для продукции 1-го вида и 2,67 ед. для продукции 2-го вида; нормы расхода 2-го ресурса, идущего на изготовление единицы продукции, составляют 4 ед. для продукции 1-го вида и 2 ед. – для продукции 2-го вида. Суммарный объём выпуска должен быть не менее 40 ед.

Затраты на изготовление единицы продукции определяются выражениями , где  – искомый объём производства -го вида ();  – затраты на изготовление продукции -го вида;  – коэффициент снижения затрат с ростом объёма производства:  ден. ед.,  ден. ед., .

Составить математическую модель задачи и найти объёмы производства продукции 1-го и 2-го вида, при которых суммарные затраты при производстве продукции минимальны. Объёмы производства продукции измеряются целыми числами.

Задание № 2

Личный бюджет Джека составляет $1900. Основные продукты I, II и III его ежедневного потребления имеют на рынке цены, равные p₁ = $1,2, p₂ = $2,5 и  p₃ = $0,8, соответственно. Минимальные ежедневные потребляемые количества продуктов каждого вида составляют a₁ = 3 ед., a₂ = 6 ед., a₃ = 8 ед., соответственно.

Полезность потребительского набора, которую Джек извлекает из потребления  единиц продукта I типа,  единиц продукта II типа и  единиц продукта III типа измеряется функцией полезности Стоуна

Составив необходимую математическую модель, определите потребительскую корзину, которая позволит Джеку получать максимальную пользу при соблюдении его бюджетного ограничения.

 

Задание № 3

Компания производит две марки телевизоров «Astro» и «Cosmo». Производственные мощности компании таковы, что объем производства телевизоров «Astro» составляет не более 70 телевизоров в день, а для телевизоров «Cosmo» - не более 50 телевизоров в день.

На производство одной электронно-лучевой трубки для телевизоров затрачивается время в количестве 1-го часа – для телевизоров «Astro» и 2-х часов – для телевизоров «Cosmo», причем производству трубок для обоих телевизоров может быть уделено не более 120 часов рабочего времени в день.

Для производства одного корпуса для телевизоров обеих марок требуется по одному часу, причем на производство корпусов обоих телевизоров может быть затрачено не более 90 часов рабочего времени в день.

Цены продаж (в долларах) одного телевизора описываются выражениями

·  - для телевизора «Astro»,

·  - для телевизора «Cosmo»,

где  - количество телевизоров.

Известно, что затраты на производство одного телевизора «Astro» и «Cosmo» составляют $ 210 и $ 230, соответственно.

Составьте математическую модель задачи и определите, каков должен быть дневной план производства каждого телевизора, чтобы суммарная прибыль в день от их реализации была максимальной.

 

Задание