2020-06-29
103Алгебра 11 класс
Геометрия 11 класс
«ГИА-2018 по математике. Типичные ошибки».
В 2017 – 2018 учебном году ГИА проводилось по текстам следующего варианта (№ 15).
I часть
При выполнении заданий 1 – 12 следует записать только ответ.
№ 1. Длина шага отца 70 см, а сына 50 см. Какое наименьшее расстояние они должны пройти, чтобы каждый сделал целое число шагов?
Ответ: ________________________________
№ 2. Вычислите: 
.
Ответ: ________________________________
№ 3. Упростите выражение 
.
Ответ: ________________________________
№ 4. Найдите значение выражения 
.
Ответ: ________________________________
№ 5. Решите уравнение: 
.
Ответ: ________________________________
№ 6. Решите неравенство 
.
Ответ: ________________________________
№ 7. Решите уравнение 
Ответ: ________________________________
№ 8. Найдите множество значений функции 
.
Ответ: ________________________________
№ 9. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции 
, в точке 
?
Ответ: ________________________________
№ 10. Дан параллелепипед 
. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов 
Ответ: ________________________________
№ 11. Объем треугольной пирамиды равен 24 дм3. Высота пирамиды 
дм. Найдите площадь основания данной пирамиды.
Ответ: ________________________________
№ 12. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Краснодаре по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев с начала февраля по конец мая, когда среднемесячная температура в Краснодаре ниже 5°.
Ответ:________________________________
II часть
При выполнении заданий 13 – 18 следует записать решение и ответ.
№ 13. Упроститевыражение 
.
№ 14. Решите уравнение 
.
№ 15. Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
№ 16. Околоправильного четырехугольника описана окружность и в него вписана окружность. Длина большей окружности 
см. Найдите сторону четырехугольника и площадь меньшего круга.
№ 17. Найдите область определения функции 
.
№ 18. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 5 см. Высота призмы равна радиусу окружности, вписанной в основание призмы. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Решение заданий 19 – 20 должно содержать обоснование.
В нём необходимо записать последовательные логические действия и их объяснения.
№ 19. Найдите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями 
и 
.
№ 20. Черезвершину конуса проведена плоскость под углом 
к плоскости основания. Эта плоскость пересекает основание по хорде, которая видна из центра основания под углом 
. Найдите объем конуса, если расстояние от центра основания до хорды равно 6 см.
Нужно отметить, что по предметной комиссии № 2 результаты ГИА – 2018 несколько ниже, чем ГИА – 2017: появились «2», увеличилось количество «3» и уменьшилось количество «5».
Это объясняется следующими причинами:
· изменение содержания вариантов – облегчение 1 части (было15 заданий, стало 12) и усиление 2 части (было 4 задания, стало 6 заданий). Задания, требующие обоснований, в этом году носили комплексный характер и включали в себя проверку знаний различных разделов.
· Ужесточение оценочной таблицы: чтобы получить «3» учащемуся необходимо было решить около 60% предложенных заданий, а для «5» - более 90%.
Однако, полученные результаты более точно отражают реальную картину уровня знаний математики в школах республики. Тому способствовали следующие моменты:
· относительно стабильная политическая обстановка;
· достаточное время для подготовки. Все задания в составе «Банка заданий ГИА» были в свободном доступе в течении учебного года. И учащиеся имели возможность готовиться к данному испытанию.
· писали в своих школах, в знакомой обстановке, что способствовало снизить уровень напряженности и максимально сосредоточиться на выполнении работы.
Остановимся подробнее на типичных ошибках, допущенных в заданиях по алгебре. С заданиями 1 части в основном справились все учащиеся. Хотя имелись неправильные ответы к отдельным заданиям.
№ 1. Задание по математике 5 – 6 класса.
Длина шага отца 70 см, а сына 50 см. Какое наименьшее расстояние они должны пройти, чтобы каждый сделал целое число шагов?
Решение: НОК(70;50) = 
Ответ: 350 см.
Типичные ошибки:
В основном с заданием справились. Единичные ошибки при переводе в другие единицы измерения (хотя этого делать не надо), вычислительного характера.
№ 2. Алгебра
Вычислите: .
Решение: 
.
Ответ: 0,04.
Типичные ошибки:
Не всегда доведено решение до конца. Выполняли преобразование и в ответ записывали 
. А задание вычислить, то есть правильный ответ 0,04.
№ 3. Алгебра.
Упростите выражение .
Решение: 
.
Ответ: – 1.
Типичные ошибки:
В основном дан правильный ответ. Встречались работы с ответом 1.
№ 4. Алгебра
Найдите значение выражения 
.
Решение: 
.
Ответ: 4.
Типичные ошибки:
В основном дан правильный ответ. Повторяющихся неправильных ответов не было
№ 5. Уравнения и неравенства
Решите уравнение: .
Решение: ; 
, 
; 
, 
;
, .
Ответ: 
, .
Типичные ошибки:
Отсутствие записи . Вычислительные ошибки. Не выполнено деление на 4.
№ 6. Уравнения и неравенства
Решите неравенство 
.
Решение: применяем метод интервалов.
Ответ: 
.
Типичные ошибки:
Неверно определены нули функции, стоящей в левой части неравенства. Неверно используются скобки.
№ 7. Уравнения и неравенства
Решите уравнение 
Решение: 
; 
; 
; 
.
Ответ: – 1.
Типичные ошибки:
В основном дан правильный ответ. Закономерность в неправильных ответах не прослеживалась.
№ 8. Функции
Найдите множество значений функции 
.
Решение: так как 
, то 
. Значит, 
.
Ответ: 
; ИЛИ 
; ИЛИ 
.
Типичные ошибки:
Встречались работы, в которых неправильно определен интервал; неверно использованы скобки; место 
писали 
.
№ 9. Начала математического анализа
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции 
, в точке ?
Решение: 
; 
.
Ответ: 2.
Типичные ошибки:
В основном дан правильный ответ. В ряде работ дан ответ 1, что свидетельствует об ошибке при нахождении производной.
Однако имеют место ряд замечаний, которые не связаны с математикой, а скорее относятся к сфере внимательности обучающихся, но их было значительное количество:
· ответы записаны не в своих строчках;
· допущены исправления;
· не указаны единицы измерений.
На II части остановимся поподробнее.
№13. Алгебра
Упроститевыражение .
Решение: 
.
Ответ: 
.
Типичные ошибки:
Низкая культура ведения математических записей: положение дробной черты; запись названий тригонометрических функций, греческой буквы α. Встречались ошибки практически на всех этапах решения. Допускались ошибки при преобразовании суммы тригонометрических функций в произведение. Пропущен этап вынесения общего множителя за скобки. Встречался ответ 
.
№ 14. Уравнения и неравенства
Решите уравнение 
.
Решение: 
.
Пусть 
, тогда 
и 
. Получаем приведенное квадратное уравнение 
.
По обратной теореме Виета находим корни 
и 
.
1) 
; 
; 
.
2) 
; 
; 
.
Ответ: 2; 3.
Типичные ошибки:
Допускались ошибки при решении квадратного уравнения, показательного уравнения. Встречались работы с перековерканной фамилией Виета.
№ 15. Начала математического анализа
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
Решение: 
, 
.
.
.
Найдем критические точки. 
существует на всей 
и 
если 
; 
; 
; 
и 
.
Отрезку 
принадлежит критическая точка 
.
; 
; 
.
Так как 
, то наибольшее значение функции равно 5.
Ответ: 5.
Типичные ошибки:
Не все учащиеся приступали к решению данного номера. Допускались ошибки при нахождении производной, при решении дробно рационального уравнения, при вычислениях. В ряде работ не записан ответ.
№ 17. Элементарное исследование функции
Найдите область определения функции 
.
Решение: 
.
: 
; 
. Так как 
, то 
.
, 
.
Ответ: 
, 
.
Типичные ошибки:
Не все учащиеся приступали к решению номера. Те же, кто решал, в основном с заданием справлялись. Имели место работы с ошибками при решении простейшего тригонометрического уравнения.
№ 19. Алгебра и начала математического анализа
Найдите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями и .
Решение:
Построим графики данных функций 
и 
.
Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций, решив уравнение:
; 
; 
, 
.
Ответ: 4,5.
Типичные ошибки:
И к данному заданию приступали не все учащиеся. Практически во всех работах есть замечания к рисунку: наличие всех обязательных элементов системы координат; изображение параболы; выделение искомой области. При детальном описании построения графиков (что не является обязательным) допускались недочеты, описки, вычислительные ошибки. В ряде работ отсутствовал этап аналитического определения границ интегрирования, для этого использовался лишь рисунок. Встречались ошибки при составлении интеграла для нахождения искомой площади; при нахождении первообразной; вычислительные ошибки.
Подводя итог всему вышеизложенному, отметим: Выпускники 2018 года показали прочные знания по основному программному материалу. Однако имеют место ряд недочетов, на которые нужно обратить внимание в наступающем учебном году. Это прежде всего графическая культура, она по прежнему остается на низком уровне. Второе слабое место – это использование математической символики и ведение математических записей: расположение дробной черты относительно строки, запись показателей степеней, индексов, логарифмов, интегралов и т.д. Так же много замечаний на использование и понимание учащимися математических терминов, на умение строить математические предложения, обосновывать решение.
Домашнее задание: Просмотрите экзаменационную работу. Обратите внимание на типичные ошибки.
