Свойства правильной пирамиды

Определение пирамиды

Рассмотрим многоугольник А₁А₂... А_n, который лежит в плоскости α, и точку P, которая не лежит в плоскости α (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А₁, А₂, А₃, … А_n. Получим n треугольников: А₁А₂Р, А₂А₃Р и так далее.

Определение. Многогранник РА₁А₂…А_n, составленный из n -угольника А₁А₂... А_n и n треугольников РА₁А₂, РА₂А₃ … РА_nА_{n -1}, называется n -угольной пирамидой. Рис. 1.

Рис. 1

Пример пирамиды

Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).

Р – вершина пирамиды.

ABCD – основание пирамиды.

РА – боковое ребро.

АВ – ребро основания.

Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD. Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.

Рис. 2

Площадь поверхности пирамиды

Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:

S_полн = S_бок + S_осн

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если:

• ее основание – правильный многоугольник;
• отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).

Р – вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD – правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О, точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО – это высота пирамиды.

Рис. 3

Пояснение: в правильном n -угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается h_а.

Свойства правильной пирамиды

1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;

2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Доказательство этих свойств приведем на примере правильной четырехугольной пирамиды.

Дано: РАВСD – правильная четырехугольная пирамида,

АВСD – квадрат,

РО – высота пирамиды.

Доказать:

1. РА = РВ = РС = РD

2. ∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP См. Рис. 4.

Рис. 4

Доказательство.

РО – высота пирамиды. То есть, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямым АО, ВО, СО и DО, лежащим в ней. Значит, треугольники РОА, РОВ, РОС, РОD – прямоугольные.

Рассмотрим квадрат АВСD. Из свойств квадрата следует, что АО = ВО = СО = DО.

Тогда у прямоугольных треугольников РОА, РОВ, РОС, РОD катет РО – общий и катеты АО, ВО, СО и DО равны, значит, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство отрезков, РА = РВ = РС = РD. Пункт 1 доказан.

Отрезки АВ и ВС равны, так как являются сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС. Значит, треугольники АВР и ВCР – равнобедренные и равны по трем сторонам.

Аналогичным образом получаем, что треугольники АВР, ВCР, СDР, DAP равнобедренны и равны, что и требовалось доказать в пункте 2.