Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:
Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.
Дано: РАВС – правильная треугольная пирамида.
АВ = ВС = АС.
РО – высота.
Доказать: . См. Рис. 5.
Рис. 5
Доказательство.
РАВС – правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС. Пусть О – центр треугольника АВС, тогда РО – это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС. Заметим, что .
Треугольники РАВ, РВC, РСА – равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА. Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:
Sбок = 3SРАВ
Теорема доказана.
Задача 1
Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Дано: правильная четырехугольная пирамида АВСD,
АВСD – квадрат,
r = 3 м,
РО – высота пирамиды,
|
|
РО = 4 м.
Найти: Sбок. См. Рис. 6.
Рис. 6
Решение.
По доказанной теореме, .
Найдем сначала сторону основания АВ. Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.
Тогда, м.
Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:
Рассмотрим треугольник BCD. Пусть М – середина стороны DC. Так как О – середина BD, то (м).
Треугольник DPC – равнобедренный. М – середина DC. То есть, РМ – медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC. Тогда РМ – апофема пирамиды.
РО – высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой ОМ, лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ.
(м).
Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:
Ответ: 60 м2.
Решите задачу № 1207 стр. 316