Электрическая индукция

Электрическое поле в диэлектрической среде создается как свободными, так и связанными зарядами, так что вектор напряженности E, характеризующий результирующее поле в диэлектрике, является суммой двух величин, напряженности поля, создаваемого свободными зарядами Е_своб, и поля, создаваемого связанными зарядами Е_связ

.                                                 (3.6)

Важно понимать, что вектор поляризации Р обусловлен именно этим результирующим полем Е, то есть вектор поляризации зависит от поля, часть которого он сам же и создает. Это затрудняет его нахождение, поэтому вводят еще одну характеристику электрического поля внутри диэлектрика, которая характеризует поле одних лишь свободных зарядов.

Рассмотрим ситуацию, когда электрическое поле в диэлектрике создается, к примеру, равномерно заряженной плоскостью, помещенной внутрь диэлектрика (Рис.3.6).

Рис.3.6

 

 

Для определения результирующего поля Е воспользуемся теоремой Гаусса. В качестве произвольной поверх­но­сти  выберем, как в рассмотренной ранее задаче о поле заряженной плоскости, цилиндр длиной , ось ко­то­рого перпендикулярна плоскости, а основания равноудалены от нее. Теперь внутрь поверхности  попадут не только свободные заряды, находящиеся на плос­ко­сти, но и связанные заряды, появля­ю­щиеся вследствие поляризации ди­элек­трической среды (на рис. 3.6 показаны диполи, «разрезанные» поверхностью  на две части – отрицательные связанные  заряды этих диполей оказались внутри поверхности ). Поэтому теорему Гаусса в этом случае правильно будет записать в следующем виде:

                                            (3.7)

 

Суммы свободных и связанных зарядов в правой части уравнения можно выразить через плотности σ и σ` для свободных и связанных зарядов

                                                                      (3.8)

Умножим обе части этого равенства на ε_0. Кроме того, перенесем слагаемое  σ`S в левую часть уравнения и внесем его под знак интеграла. Получим

                                                                (3.9)

Учтем также, что как показано выше (3.3) σ` = Р. Получим

                                                                 (3.10)

 

Это выражение следует трактовать так: поток некоторой векторной величины   ε₀ Е + Р   через замкнутую поверхность S равен сумме свободных зарядов (σS), заключенных внутри этой поверхности. Эту векторную величину (ε₀ Е + Р), характеризующую электрическое поле, называют электрической индукцией (D) или электрическим смещением. Итак

D = ε₀ Е + Р                                                            (3.11)

 

Вектор электрической индукции характеризует электрическое поле только свободных зарядов (или определяется только свободными зарядами). При одном и том же распределении свободных зарядов этот вектор будет одним и тем же, независимо от среды, в которой находятся эти заряды. Вектор электрической индукции начинается и заканчивается только на свободных зарядах, поэтому линии электрической индукции не имеет разрывов на поверхностях разделяющих различные диэлектрические среды.

Единица электрического смещения — Кулон на метр в квадрате (Кл/м²).

Выражение (3.10) фактически является теоремой Гаусса для вектора электрической индукции: поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, заключенных внутри этой поверхности.

Подставим полученное ранее выражение (3.2) для вектора поляризации в формулу (3.11)). Получим

D = ε₀(1+χ) E                                                 (3.12)

Безразмерную величину 1+χ  мы уже встречали ранее (3.6). Ее называют диэлектрической проницаемостью среды ε. Таким образом

D = ε₀ε E                                                    (3.13)

В отличие от электрической индукции напряженность электрического поля характеризует как свободные, так и связанные заряды, поэтому вектор напряженности терпит разрывы на границах областей, где присутствуют связанные заряды, например на границе раздела двух диэлектриков с различными . Часть линий напряженности Е прерывается на связанных зарядах, образующихся на границе раздела среды (см. рис.). Поэтому напряженность поля в среде оказывается меньше, чем вне ее. Диэлектрическая проницаемость ε показывает, во сколько раз напряженность поля в среде меньше, чем в вакууме.

Полученные нами ранее выражения для напряженности поля, создаваемого равномерно заряженной плоскостью и равномерно заряженной сферой, можно распространить и на случай, когда эти заряженные тела погружены в сплошную диэлектрическую среду с проницаемостью ε. Нетрудно показать, что в этом случае поле точечного заряда q определяется формулой

,                                                    (3.14)

а поле плоскости, равномерно заряженной с поверхностной плотностью σ равно

                                                                           (3.15)

Граничные условия

Рассмотрим поведение векторов E и D на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков с проницаемостями и при отсутствии на границе свободных зарядов.

Граничные условия для нормальных составляющих векторов D и E следуют из теоремы Гаусса. Выделим вблизи границы раздела замкнутую поверхность в виде цилиндра, образующая которого перпендикулярна к границе раздела, а основания находятся на равном расстоянии от границы (рис. 3.7).

 

Рис. 3.7

Так как на границе раздела диэлектриков нет свободных зарядов, то, в соответствии с теоремой Гаусса, поток вектора электрической индукции через данную поверхность

.

Выделяя потоки через основания и боковую поверхность цилиндра

,                    (3.16)

где - значение касательной составляющей усредненное по боковой поверхности . Переходя к пределу при (при этом также стремится к нулю), получаем , или окончательно для нормальных составляющих вектора электрической индукции , то есть

 

                                                                  D_2n = D_1n                                                   (3.17)

 

Для нормальных составляющих вектора напряженности поля, учитывая (3.13) получим

.                                              (3.18)

Таким образом, при переходе через границу раздела диэлектрических сред нормальная составляющая вектора E_n терпит разрыв, а нормальная составляющая вектора D_n непрерывна.

Граничные условия для касательных составляющих векторов D и E следуют из соотношения, описывающего циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Построим вблизи границы раздела прямоугольный замкнутый контур длины l и высоты h (рис. 3.8).

 

Рис. 3.8

Согласно теореме о циркуляции вектора Е электростатического поля

Обходя контур по часовой стрелке, представим циркуляцию вектора E в следующем виде:

                                   (3.19)

где - среднее значение E_n на боковых сторонах прямоугольника. Переходя к пределу при , получим для касательных составляющих E

.                                           (3.20)

Для касательных составляющих вектора электрической индукции граничное условие имеет вид

                                      (3.21)

Таким образом, при переходе через границу раздела диэлектрических сред касательная составляющая вектора E_τ непрерывна, а касательная составляющая вектора D_τ  терпит разрыв.

Преломление линий электрического поля. Из граничных условий для соответствующих составляющих векторов E и D следует, что при переходе через границу раздела двух диэлектрических сред линии этих векторов преломляются (рис. 3.9). Разложим векторы E₁ и E₂ у границы раздела на нормальные и тангенциальные составляющие и определим связь между углами и при условии . Легко убедиться, что как для напряженности поля, так и для индукции справедлив один и тот же закон преломления линий напряженности и линий смещения

tgα₁/ tgα₂= ε₁ /ε₂.                                                   (3.22)

Действительно, согласно рис.2.8    tgα₁/ tgα₂=D_1nD_2τ/D_1τD_2n. Воспользовавшись граничными условиями (3.17) и (3.21) придем к формуле (3.22). Аналогично можно убедиться в справедливости этой формулы и для вектора Е (рис. 2.9).

Рис 3.9

Из (3.22) следует, что при переходе в среду с большим значением ε  угол α, образуемый линиями напряженности (смещения) с нормалью, увеличивается (рис.3.10).

Рис. 3.10