Центральная предельная теорема

Выше были рассмотрены различные формы закона больших чисел, которые, при всем своем разнообразии, утверждают одно: сходимость по вероятности тех или иных случайных величин к определенным постоянным.

Все формы центральной предельной теоремы посвящены другой аспекту — установлению условий, при которых возникает самый распространенный в случайных явлениях нормальный закон распределения. Важнейшее место занимает теорема Ляпунова.

Теорема Ляпунова [1]

Рассмотрим n независимых случайных величин , удовлетворяющих условиям:

1) все величины имеют определенные математические ожидания _й конечные дисперсии ;

2)ни одна из величин не выделяется резко среди остальных по своим значениям.

Тогда при неограниченном возрастании  распределение случайной величины  приближается к нормальному закону.

Таким образом, имеем следующую асимптотическую формулу:

,                         (1.56)

где .

[1] Одна из наиболее общих форм центральной предельной теоремы была доказана русским математиком и механиком Александром Михайловичем Ляпуновым (1857-1918) в 1900 г.