Тема 8. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Данная тема важна для понимания методов математической статистики. Она включает в себя ряд теорем, устанавливающих при определенных условиях устойчивость частости и средней арифметической (теоремы Бернулли, Пуассона, Чебышева, Маркова) или устойчивость закона распределения (теорема Ляпунова).
В широком смысле под законом больших чисел понимается свойство устойчивости массовых явлений, состоящее в том, что средний резудь. тат действия большого числа случайных явлений практически перестает быть случайным и может быть предсказан с достаточной определенностью.
В узком смысле под законом больших чисел понимают совокупность теорем, устанавливающих факт приближения средних характеристик, полученных по результатам большого числа наблюдений, к некоторым постоянным величинам.
Пусть дана последовательность случайных величин а случайные величины представляют собой заданные симметрические функции от первых п членов последовательности Тогда если существует последовательность чисел такая, что для любого выполняется , то говорят, что последовательность подчиняется закону больших чисел.
|
|
Закон больших чисел. Основные теоремы
1. Лемма Маркова
Если случайная величина X не принимает отрицательных значений, то для любого положительного числа т выполняется:
. (1.50)
Доказательство.
Для определенности предположим, что X — непрерывная случайная величина с плотностью распределения вероятностей f(х). По определению математического ожидания: . Выражение перепишем в виде , откуда, учитывая, что оба слагаемых в правой части положительны, следует .
Так как , то .
В итоге, учитывая, что М(Х)>0, получим .
2. Неравенство Чебышева
Для любой случайной величины X, имеющей конечную дисперсию, при каждом имеет место неравенство:
. (1.51)
Доказательство.
Рассмотрим дискретную случайную величину X, закон распределения которой описывается рядом распределения Тогда ряд распределения случайной величины имеет вид:
Без ограничения общности можно считать, что первые k значений этой случайной величины меньше заданного , а остальные значения не меньше заданного . Тогда на основании теоремы сложения вероятностей получим:
.
Далее запишем формулу дисперсии D(X) в виде:
,
откуда , что приводит к .
3. Теорема Чебышева (частный случай)
Если — последовательность наблюдений случайной величины X, имеющей конечную дисперсию, то каково бы ни было
. (1.52)
|
|
4. Теорема Чебышева (общий случай)
Если — последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной С, т. е. то каково бы ни было
. (1.53)
Доказательство.
Рассмотрим случайную величину .
В соответствии со свойствами математического ожидания и дисперсии:
, .
По условию теоремы , поэтому .
В соответствии с неравенством Чебышева:
.
5. Теорема Бернулли
Пусть m — число наступления события А в серии n независимых испытаний, а р — есть вероятность наступления события в каждом из ис пытаний. Тогда каково бы ни было
. (1.54)
6. Теорема Пуассона
Пусть m — число наступления события А в серии n независимых ис пытаний, а — есть вероятность наступления события в i-м испытании Тогда каково бы ни было
. (1.55)