Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти потенциальную энергию Wсистемы трёх точечных зарядов q₁= 10 нКл, q₂= 20 нКл и q₃= 30 нКл, расположенных в вершинах равно-стороннего треугольника со стороной а = 10 см.

1) Дж 2) Дж 3) Дж 4) Дж

Решение. Потенциальная энергия системы зарядов

где - потенциал поля в точке, где расположен заряд , созданный всеми остальными зарядами, кроме i -го.

Для данной системы зарядов выражение будет иметь вид

, , – потенциалы точек определяются как алгебраические суммы потенциалов. Тогда

С учётом того, что энергия i- го заряда в поле n -го заряда и соответственно n -го заряда в поле i- го заряда равны , получаем

Проведем вычисления

Ответ: Дж.

Пример 2. Между пластинами плоского конденсатора находится плотно прилегающая стеклянная пластинка. Конденсатор заряжен до разности потенциалов В. Какова будет разность потенциалов , если вытащить стеклянную пластинку из конденсатора?

1) 100В 2) 300В 3) 500В 4) 700В

Решение. Извлечение пластинки из конденсатора приведет к уменьшению электроемкости при неизменном заряде на обкладках конденсатора.

, , , , , В.

Ответ: 700В.

Пример 3. Конденсаторы электроемкостями нФ, нФ, нФ и нФ соединены так, как показано на рисунке. Определить электроемкость батареи конденсаторов.

1) 20нФ 2) 40нФ 3) 60нФ 4) 80нФ.

Решение. Емкость батарей конденсаторов и , а также и определим как емкость при последовательном соединении:

нФ;

нФ.

Батареи и соединены параллельно:

нФ.

Ответ: 20 нФ.

Пример 4. Одну пластину незаряженного конденсатора емкости С заземляют, а другую присоединяют длинным тонким проводом к удаленному от окружающих предметов проводящему шару радиуса r, имеющему заряд q₀. Какой заряд останется на шаре?

1) 2) 3) 4)

Решение. Потенциал шара и ближайшей к нему пластины одинаков, потенциал заземленной пластины равен нулю. Так как потенциал бесконечно удаленной точки равен нулю, а шар по условию задачи удаленный, фактически шар и конденсатор оказались соединенными параллельно, тогда:

т. е. .

Ответ:

Пример 5. Если к амперметру, рассчитанному на максимальную силу тока I_A=2A, присоединить шунт сопротивлением R_m = 0,5 Ом, то цена деления шкалы амперметра возрастет в 10 раз. Определить, какое добавочное сопротивление R_Д необходимо присоединить к этому амперметру, чтобы его можно было использовать как вольтметр для измерения напряжений до 220 В.

1)5 Ом 2)55Ом 3)105 Ом 4)205 Ом

Решение. Определим сначала внутреннее сопротивление амперметра R_A_.При подключении шунта

или .

В соответствии с условием задачи I _A = 2 A, общий ток в цепи I _ш+ I _A = 20 A, и тогда R _A = 4,5 Ом.

Чтобы использовать амперметр в качестве вольтметра, измеряющего напряжение до 220 В, к нему надо подключить такое добавочное сопротивление R _Д, чтобы падение напряжения на амперметре и на этом сопротивлении составило 220 В. При этом через амперметр будет проходить максимальный ток силой 2 А. Поэтому можно записать:

Откуда

Ответ: 105 Ом

Пример 6. Внутренне сопротивление r источника тока в n раз меньше внешнего сопротивления R, которым замкнут источник с ЭДС Е. Определить, во сколько раз напряжение U на зажимах источника отличается от ЭДС.

1) 2) 3) 4)

Решение. Поскольку напряжение на зажимах источника меньше ЭДС на величину падения напряжения во внутреннем участке цепи, то , или

. (1)

По условию задачи или . Тогда уравнение (1) можно привести к виду:

, откуда .

Из уравнения (1) видно, что если R→ ∞, то отношение <<1 и U→E.

Ответ:

Пример 7. Сколько ламп накаливания мощностью 220 Вт каждая, рассчитанных на напряжение 127 В, можно установить в помещении, если напряжение на зажимах генератора постоянно и равно 133 В, а проводка от генератора до потребителя – алюминиевый провод общей длиной 150 м и сечением 15 мм? Определить общую мощность тока у потребителя.

1) 1 2) 3 3) 7 4) 13

Решение. Количество ламп, которое можно включить в данную цепь, определим, разделив силу тока в магистральном проводе на силу тока в одной из ламп: . Сила тока в магистральном проводе ,

где и – сопротивление и падение напряжения в проводах.

Так как ток в лампе , то

Ответ:13

Пример 8. Сетка состоит из одинаковых звеньев (см. рисунок 1, а). Сопротивление звена R = 1 Ом. Найти сопротивление между точками А и В.

1) 1,5 Ом 2) 2,5 Ом 3) 3,5 Ом 4) 4,5 Ом

а) б)

Рисунок–1

Решение. Точки, обладающие равными потенциалами (их легко найти из соображений симметрии), можно соединить. Это точки, симметричные относительно оси, проходящей через точки А и В. Получившаяся эквивалентная схема представлена на рисунке 1,б.

Ом

Ответ:1,5 Ом

Пример 9. Цепь составлена из бесконечного числа ячеек (рисунок–1а). Определить сопротивление этой цепи.

1) 2)

3) 4)

Рисунок–1,а

Решение. Для решения задачи воспользуемся свойством счетных множеств (счетным называется всякое множество, эквивалентное множеству всех натуральных чисел). Выделим узел, состоящий из двух сопротивлений r и R (рисунке–2,а). Если число таких узлов n →∞, то множество сопротивлений r и R будет счетным. Из свойства счетного множества следует, что если А – данное счетное множество, А₁ – его бесконечное подмножество, то А≈А₁. На основании этой теоремы можно представить рассматриваемую цепь как эквивалентную той, которая показана на рисунке–2,б. Применив к этой схеме формулы и , получим

где R_x – сопротивление бесконечной цепочки.

Это уравнение можно записать в виде

откуда

Учитывая, что отрицательное значение корня противоречит физическому содержанию задачи, получим однозначный ответ:

В задаче в качестве элемента счетного множества использовался узел из двух сопротивлений. Число сопротивлений в элементарной ячейке можно различным способом менять, однако метод решения задачи не изменится.

Ответ: .

Пример 10. Проволочный виток радиусом см находится в однородном магнитном поле напряженностью H = 2 кА/м. Плоскость витка образует угол с направлением поля. По витку течет ток с силой А. Найти механический момент M (в мкН×м), действующий на виток.

1) 40 2) 10 3) 60 4) 50

Решение. Механический момент, действующий на виток с током:

где – угол между и .

Магнитный момент контура с током равен . Связь между индукцией и напряженностью задано выражением . Тогда

Н×м = 40 мкН·м.

Ответ: 40 мкН·м.

Пример 11. Заряженная частица, прошедшая ускоряющую разность потенциалов кВ, движется в однородном магнитном поле с индукцией мТл по окружности радиусом см. Определить удельный заряд частицы .

1) 2) 3) 4)

Решение. Пройдя ускоряющую разность потенциалов, частица приобретает кинетическую энергию . Радиус кривизны траектории частицы .

Решая уравнения совместно, получаем:

; . ; .

Ответ: .

Пример 12. В однородном магнитном поле с индукцией Тл равномерно с частотой w = 480 об/мин вращается рамка, содержащая витков площадью . Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Определить максимальную ЭДС индукции, возникающую в рамке.

1)100 В 2)122 В 3)132 В 4)142 В

Решение. Согласно закону Фарадея-Максвелла

Изменение магнитного потока происходит при изменении угла между вектором индукции и нормалью к плоскости рамки . Учитывая, что при угле между нормалью и вектором индукции в момент равном

а максимальной ЭДС будет при , то

В.

Ответ: 132 В.

Пример 13. Тело массой m = 5 г совершает затухающие колебания. В течение времени Dt = 50 c тело потеряло 60% своей энергии. Определить коэффициент сопротивления r.

1)6.2×10^-5 кг/с 2)7.2×10^-5 кг/с 3)8.2×10^-5 кг/с 4)9.2×10^-5 кг/с

Решение. Полная энергия колеблющейся точки равна , тогда отношение энергий системы в двух состояниях пропорционально отношению квадратов амплитуд колебаний

Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени имеет вид

, .

Логарифмируем это выражение и получаем .

Коэффициент затухания d связан с коэффициентом сопротивления и

Ответ: 9,2×10 ^-5 кг/с.

Пример 14. Две точки находятся на расстоянии х = 50 см друг от друга на прямой, вдоль которой распространяется волна со скоростью v = 50 м/с. Период колебаний равен 0,05 с. Найти разность фаз Dj колебаний этих точек.

1)72° 2)92° 3)52° 4)22°

Решение. Связь длинны волны с периодом колебаний: l = v×T. Разность фаз между точками

Ответ: 2p/5 рад = 72°.

Пример 15. Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см от источника колебаний, через промежуток времени Т /6 равно половине амплитуды. Определить длину волны (в метрах).

1) 0,1 2)0,5 3)1,0 4)1,5

Решение. Преобразуем уравнение волны , учитывая, что и , к виду .