Математика.Курс 1.Занятие 9
Решение показательных уравнений.
Выполните входной тест и запишите всю лекцию с разобранными примерами
Входной тест
1. Представить число в виде степени числа 2:
а) 4; б) ; в) 64; г) ; д) 1.
2. Найти значение выражения:
а) 4-1 ⋅ 82
б)
в) (78)2: (75)3
3) Упростить выражение:
а) (а2)3 ⋅ (а4)2 ⋅ (а2 ⋅ а3)4
б)
За каждый правильный оценивается в 1 балл.
Максимальное количество баллов – 10.
Нормы оценивания
Если Вы набрали более 7 баллов, то можете переходить к выполнению заданий практической работы, в противном случае необходимо повторить материал предыдущих занятий, который Вами не освоен в достаточной мере.
Краткие теоретические основы
Определение: Показательным уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени.
Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида:
Уравнение ax = b не имеет корней, если b<0.
Методы решения показательных уравнений:
|
|
1. Уравнивание оснований.
Алгоритм метода:
1. Уединить слагаемое, содержащее переменную.
2. Привести степени к одному основанию.
3. Приравнять показатели.
4. Решить полученное уравнение.
5. Записать ответ.
Пример 1: 3х - 27 = 0; 3х = 27; (1 шаг) 3х = 33; (2 шаг) х = 3 (3 шаг) Ответ: x = 3. (5 шаг) | Пример 2: 2х-4 - 16 = 0; 2х-4 = 16; (1 шаг) 2х-4 =24; (2 шаг) х-4=4 (3 шаг) х=4+4 (4 шаг) х=8 Ответ: x = 8. (5 шаг) |
2. Вынесение общего множителя за скобки.
Алгоритм метода:
1. Применяя свойства степени , выделить множители, в которых переменная содержится в показатели степени.
2. Вынести общий множитель за скобки.
3. Подсчитать значение выражения в скобке.
4. Привести уравнение к виду .
5. Решить полученное уравнение методом уравнивание показателей.
Пример 3:
(1 шаг)
(2 шаг)
(3 шаг)
; (4 шаг)
; (5 шаг)
х=1.
Ответ: 1
3. Введение новой переменной
Алгоритм метода:
1. Избавиться от числовых слагаемых в показателях степеней (если они есть и не совпадают).
2. Приведите степени к одному основанию.
3. Сделать замену переменной. Обязательно вести условие, что новая переменная больше нуля.
4. Решить полученное квадратное уравнение. Если в решении квадратного уравнения получились отрицательные корни, то необходимо указать, что он не удовлетворяет условию пункта 3.
5. Сделать обратную замену, и решить простейшие показательные уравнения.
Пример 4: Примечание: в данном уравнении 1 и 2 шаги отсутствует. 42x - 5·4x + 4 = 0; 4 x = t, t>0; (3 шаг) t2 -5·t + 4 = 0; (4 шаг) D = 25-16 = 9; (5 шаг) Ответ: 0; 1. | Пример 5: В данном примере отсутствует только шаг 2. 52x+1 - 26∙5x +5 = 0; 52x ⋅51 – 26 ⋅ 5x +5 = 0; (1 шаг) 5x = t, t > 0; (3 шаг) 5t2 - 26t + 5 = 0; (4 шаг) D=676 – 100 = 576; t1 = t2 = (5 шаг) Ответ: -1; 1. |
Пример 6: 9x - 4 · 3x – 45 = 0; т.к. 9x = (32)x = 32x = (3x)2; 3x = t, t > 0; t2 – 4t – 45 = 0; D = 16 – 4 ⋅ (- 45)=196; t1 = не удовлетворяет условию t >0. ; 3x = 9; ; х = 2. Ответ: 2 |
|
|