Точность представления результатов

Практическая работа №1

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Теоретическая часть

Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины

несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных

измерений мы получили значений величины:

x1, x2, x3,... xn. (2)

Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку

результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это

значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой

величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx.

В таком случае мы можем записать результат измерений в виде

µ = ± Δx (3)

Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись (3)

результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или

доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины

заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.

Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде

L = (8.34 ± 0.02) мм, (P = 0.95)

Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в

интервале от 8.32 до 8.36 мм.

Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений

, его ошибку Δx и надежность P.

Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.

В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения,

установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой

где Δx – отклонение от величины истинного значения;

σ – истинная среднеквадратичная ошибка;

σ 2– дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.

Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при x = 0, кроме того, она является четной.

На рис.16 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx1 и Δx2 (заштрихованная площадь на рис.16) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx1,Δx2).

Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2)

где – n число измерений.

Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением

измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному

значению μ измеряемой величины при n → ∞.

Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина

Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному

пределу σ

σ = lim S. (7)

n → ∞

С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.

Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.

Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины.

Результат записывается в виде:

Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда

одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз.

В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений

Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе

отличается от него.

Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент,

зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом Стьюдента t.

Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что

где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности;

S_x – среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.

Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице 2.

Из сказанного следует:

1. Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного

значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического.

2. При n → ∞ S_x → 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение μ, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить

результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор,

пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа

измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от

систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой

величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для

выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, P = 0.95),

нетрудно нейти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на

точность результата.

Для этого удобнее воспользоваться таблицей 3, в которой интервалы заданы в долях величины σ,

являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам.

 

2.При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:

1. Результат каждого измерения запишите в таблицу.

2. Вычислите среднее значение из n измерений

3. Найдите погрешность отдельного измерения

4. Вычислите квадраты погрешностей отдельных измерений

5. Определите среднеквадратичную ошибку среднего арифметического

6. Задайте значение надежности (обычно берут P = 0.95).

7. Определите коэффициент Стьюдента t для заданной надежности P и числа произведенных измерений n.

8. Найдите доверительный интервал (погрешность измерения)

9. Если величина погрешности результата измерения Δx окажется сравнимой с величиной погрешности прибора δ, то в качестве границы доверительного интервала возьмите

 

Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.

10. Окончательный результат запишите в виде

11. Оцените относительную погрешность результата измерений

Рассмотрим на числовом примере применение приведенных выше формул.

Пример.

Измерялся микрометром диаметр d стержня (систематическая ошибка измерения равна 0.005 мм). Результаты измерений заносим во вторую графу таблицы, находим и в третью графу этой таблицы

записываем разности , а в четвертую – их квадраты (таблица 4).

 

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для шести измерений найдем t =

2.57. Абсолютная ошибка найдется по формуле (10).

Δd = 0.01238 · 2.57 = 0.04 мм.

Сравним случайную и систематическую ошибки:

следовательно, δ = 0.005 мм можно отбросить.

Окончательный результат запишем в виде:

 

 

Приложение 1

 

 

ТОЧНОСТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ