Площадь прямоугольника

Теорема

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольник со сторонами а, b и площадью S (рис. 181, а). Докажем, что S = ab.

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной а + b, как показано на рисунке 181, б. По свойству 3⁰ площадь этого квадрата равна (а + b)².

С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (свойство 1⁰ площадей) и двух квадратов с площадями а² и b² (свойство 3⁰ площадей). По свойству 2⁰ имеем:

(a + b)² = S + S + а² + b², или

а² + 2ab + b² = 2S + а² + b².

Отсюда получаем: S = ab. Теорема доказана.

Площадь параллелограмма

Условимся одну из сторон параллелограмма называть основанием, а перпендикуляр, проведённый из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, — высотой параллелограмма.

Теорема

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Доказательство

Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведём высоты ВН и СК (рис. 182). Докажем, что S = AD • ВН.

Докажем сначала, что площадь прямоугольника НВСК также равна S. Трапеция АВСК составлена из параллелограмма ABCD и треугольника DCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольника НВСК и треугольника АВН. Но прямоугольные треугольники DCK и АВН равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузы АВ и CD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей AD), поэтому их площади равны.

Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольника НВСК также равны, т. е. площадь прямоугольника НВСК равна S. По теореме о площади прямоугольника S = ВС • ВН, а так как ВС = AD, то S = AD • ВН. Теорема доказана.

Площадь треугольника

Одну из сторон треугольника часто называют его основанием. Если основание выбрано, то под словом «высота» подразумевают высоту треугольника, проведённую к основанию. Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказательство

Пусть S — площадь треугольника АВС (рис. 183). Примем сторону АВ за основание треугольника и проведём высоту СН. Докажем, что

Достроим треугольник АВС до параллелограмма ABDC так, как показано на рисунке 183. Треугольники АВС и DCB равны по трём сторонам (ВС — их общая сторона, АВ = CD и АС = BD как противоположные стороны параллелограмма ABDC), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABDC, т. е. Теорема доказана.

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следствие 2

Если высоты двух треугольников равны, то и площади относятся как основания.

Воспользуемся следствием 2 для доказательства теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Теорема

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Доказательство

Пусть S и S₁ — площади треугольников АВС и A₁B₁C₁, у которых ∠A = ∠A₁ (рис. 184, а). Докажем, что

Наложим треугольник A₁B₁C₁ на треугольник ABC так, чтобы вершина А₁ совместилась с вершиной А, а стороны А₁В₁ и A₁С₁ наложились соответственно на лучи АВ и АС (рис. 184, б). Треугольники АВС и АВ₁С имеют общую высоту — CН, поэтому Треугольники АВ₁С и АВ₁С₁ также имеют общую высоту — В₁Н₁, поэтому Перемножая полученные равенства, находим:

Теорема доказана.

Площадь трапеции

Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно поступают так: разбивают многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника (рис. 185, а). Используя этот приём, выведем формулу для вычисления площади трапеции. Условимся называть высотой трапеции перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание. На рисунке 185, б отрезок ВН (а также отрезок DH₁) — высота трапеции ABCD.

Теорема

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Доказательство

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и ВС, высотой ВН и площадью S (см. рис. 185, б).

Докажем, что

Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = S_ABD + S_BCD.

Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки ВС и DH₁ за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

Теорема доказана.

Теорема Пифагора

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим теперь замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора. Она является важнейшей теоремой геометрии.

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 186, а). Докажем, что с² = а² + b².

Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b так, как показано на рисунке 186,6. Площадь S этого квадрата равна (a + b)². С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна и квадрата со стороной с, поэтому

Таким образом, (а + b)² = 2аb + с², откуда с² = а² + b².

Теорема доказана.

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифа- гора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашёл доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам — даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. С одним из них мы уже познакомились, ещё с одним познакомимся в следующей главе (задача 578). Многие известные мыслители и писатели прошлого обращались к этой замечательной теореме и посвятили ей свои строки.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Теорема

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство

Пусть в треугольнике АВС АВ² = АС² + ВС². Докажем, что угол С прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник А₁В₁С₁ с прямым Углом С₁, у которого А₁С₁ = АС и В₁С₁ = ВС. По теореме Пифагора и, значит, Но АС² + ВС² = АВ² по условию теоремы. Следовательно, откуда А₁В₁ = АВ.

Треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по трём сторонам, поэтому ∠C = ∠C₁, т. е. треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С. Теорема доказана.

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным: 5₁ = 3₁ + 4₁. Прямоугольными являются также треугольники со сторонами 5, 12, 13; 8, 15, 17 и 7, 24, 25 (объясните почему).

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Можно доказать, что катеты а, b и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами a = 2k • m • n, b = k(m² - n²), c = k(m² + n²), где k, m и n — любые натуральные числа, такие, что m > n.

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Для построения прямых углов египтяне поступали так: на верёвке делали метки, делящие её на 12 равных частей, связывали концы верёвки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым.

Формула Герона

Теорема

Площадь S треугольника со сторонами а, b, с выражается формулой

где

— полупериметр треугольника.

Доказательство

Рассмотрим треугольник АВС, в котором AB = с, ВС = а, АС = b. В любом треугольнике по крайней мере два угла острые. Пусть А и В — острые углы треугольника АВС. Тогда основание Н высоты СН треугольника лежит на стороне АВ. Введём обозначения: CH = h, АН = у, НВ = х (рис. 187). По теореме Пифагора a² - x² = h² = b² - y², откуда у² - х² = b² - а², или (у - х) (у + х) = b² - а². Так как у + х = с, то

Сложив два последних равенства и разделив на 2, получим:

Поэтому

Теорема доказана.

Выведенную нами формулу обычно называют формулой Герона, по имени древнегреческого математика Герона Александрийского, жившего предположительно в I в. н. э.