Математические задачи и их виды

Основания для подбора системы задач по математике

Выделяют 2 основания:

1. Дидактическая цель, в соответствии с дидактической целью конструируется соответствующая система упражнений или задач.

Выделяют следующие цели.

— Подготовка к изучению теоретических вопросов математики (для актуализации знаний или для мотивации изучения).

— Усвоение новых знаний.

— Формирование умений и навыков (закрепление изученного, совершенствование опыта).

— Иллюстрация приложений.

— Повторение изученного.

— Контроль.

2. Способ деятельности. В соответствии с определенным способом деятельности выстраивается система упражнений. Способ деятельности может быть математическим (например, применение метода координат) и учебным (например, планирование своей деятельности).

Математические задачи и их виды

· По характеру объектов:

1) практические;

Практическими задачами называют задачи, в которых есть хотя бы один реальный предмет. Такие задачи называют также житейскими, текстовыми, сюжетными.

Задача 1.

«Телефонная проволока длиной 15 м протянута от столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найти расстояние между домом и столбом, если проволока не провисает».

Объектами этой задачи являются реальные предметы: проволока, столб, дом. Следовательно, это практическая задача. Для того, чтобы решить

задачу с помощью математики, строят её математическую модель. В данном случае проволоку, столб и дом (точнее, стену дома) рассматривают как отрезки. Считая, что поверхности, изображающие столб и дом, перпендикулярны к этой прямой, получаем следующую математическую задачу.

2) математические.

Задачи, где все объекты математические, называются математическими.

Задача 2.

Отрезки длиной 8 м и 20 м перпендикулярны к прямой, соединяющей их концы, и расположены по одну сторону от этой прямой. Отрезок, соединяющий другие концы этих отрезков, имеет длину 15 м. Найти расстояние между отрезками (рис.1.).

               Рис.1.

Решение:

Проведем ВЕ ⊥ CD. Тогда АВ = DE = 8 м, и СЕ = CD - ED = 20 - 8 = 12 (м).

Далее в ΔBCE по теореме Пифагора получаем:  

Сведение практической задачи к математической выполняется посредством построения математической модели.

· По характеру требований:

1) задачи на нахождение искомых (вычисление);

В задачах этого класса требование состоит в том, чтобы найти, разыскать, распознать какое-то искомое. При этом искомым могут быть величина, отношения, какой-либо объект, предмет, его положение или форма и т. д. Очевидными примерами задач этого класса являются математические задачи на вычисление значений различных выражений, значений функций, задачи на установление характера функции и геометрические вычислительные задачи, где нужно найти длину отрезка, величину угла, площадь фигуры, объем тела и т. п. Здесь имеют место и практические задачи, сводящиеся к вышеперечисленным математическим задачам на нахождение искомого. Также сюда относят математические задачи на решение различных уравнений, систем уравнений, неравенств и их систем, задачи, в которых нужно установить вид заданных выражений, чисел, форму заданной геометрической фигуры или тела.

2) задачи на преобразование или построение;

К этому классу относятся задачи, в которых требуется преобразовать какое-либо выражение, упростить его, представить в другом виде, построить что-либо (например, геометрическую фигуру или выражение), удовлетворяющее указанным условиям. Например, задано выражение и из него нужно получить (построить) другое выражение, обладающее какими-то особенностями (скажем, тождественно равное данному, но записанное в стандартном виде и т. д.). Или заданы элементы геометрических фигур и из них (с помощью определенных инструментов) нужно построить сами эти фигуры и прочее.

Задача 3.

Упростить выражение

Решение. Данное выражение является целым рациональным выражением. Для упрощения выражения необходимо:

1. раскрыть скобки;

2. привести подобные члены.

Другими словами, нужно данное выражение привести к многочлену стандартного вида.

3) задачи на доказательство и объяснение;

В задачах этого класса необходимо убедиться в справедливости некоторого утверждения, или проверить истинность или ложность этого утверждения, или, наконец, объяснить, почему имеет место то или иное явление, тот или иной факт.

· По отношении к теории:

1) стандартные;

«Математические задачи, для решения которых в школьном курсе математики имеются готовые правила (в любой форме) или эти правила непосредственно следуют из каких-либо определений или теорем, определяющих программу решения этих задач в виде последовательности шагов, назовём стандартными». Приведем пример стандартной задачи по теме «Арифметическая прогрессия».

Задача 4.

«Выписать первые пять членов арифметической прогрессии, если a1 =10, d =4».

Данная задача является стандартной, так как её решение основано только на определении арифметической прогрессии. Определение арифметической прогрессии: «числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом (это число называется разностью прогрессии), называется арифметической прогрессией»[16].

На основе определения арифметической прогрессии составляем программу (план) решения задачи:

1. определить, какие члены прогрессии нужно найти (a2, a3, a4, a5);

2. к значению a1 прибавить разность прогрессии, полученная сумма будет вторым членом и т.д.

В соответствии с этой программой решение данной задачи будет таким: нам нужно найти первые пять членов арифметической прогрессии, у которой a1 =10, d =4.

a2 = a1 + d=10 + 4 = 14,

a3 = a2 + d=14+4 = 18,

a4 = a3 + d=18+4 = 22,

a5 = a4 + d = 22+4 = 26.

В отличие от стандартных задач, для нестандартных задач в школьном курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения.

Задача 5.

Расстояние от реки до турбазы туристы рассчитывали пройти за 6 ч. Однако после 2 ч пути они уменьшили скорость на 0,5 км/ч и в результате опоздали на турбазу на 30 мин. С какой скоростью шли туристы первоначально (рис.2).

Решение.

Рис 2. Схематическая модель задачи 4.

Обозначим искомую первоначальную скорость туристов через х км/ч. Тогда за 6 ч, за которые они рассчитывали пройти расстояние от реки до турбазы, они прошли 6x км. Фактически этот путь они прошли следующим образом: 2 ч они шли с первоначальной скоростью, а затем еще 4,5 ч (т.к. они опоздали на 0,5 ч к сроку) – с уменьшенной скоростью (x – 0,5) км/ч. Следовательно, они прошли 2х км и 4,5(х – 0,5) км, а всего 2х + 4,5(х – 0,5) = 6х км, что равно расстоянию от реки до турбазы, т. е. 6х км.

Получаем уравнение: 2х + 4,5(х – 0,5) = 6х.

Решив это уравнение, найдем: х = 4,5. Значит, первоначальная скорость туристов равна 4,5 км/ч.

2) нестандартные.

Задача 6.

 «При каких значениях переменной y сумма дробей  и  равна их произведению»?

Решение. Задача математическая, так как используются математические термины «сумма дробей» и «произведение дробей». Найдем сумму данных дробей .

Затем найдем произведение этих дробей .

Для этого решим системы уравнений

Процесс решения этой задачи состоит в моделировании: составлении и решении дробно – рационального уравнения, т.е. составление модели.

Решив эту стандартную задачу (дробно – рациональное уравнение), мы

в конечном итоге решаем и исходную нестандартную задачу.

· По отношению к учебно-познавательной деятельности

1) задачи, стимулирующие учебно-познавательную деятельность;

2) задачи, организующие учебно-познавательную деятельность;

3) задачи, в процессе решения которых осуществляется контроль и самоконтроль эффективности учебно-познавательной деятельности

· По ведущей деятельности

1) репродуктивные задачи – задачи на простое воспроизведение изученного;

2) алгоритмические задачи - решаются по алгоритму, заданному в виде формулы, правила и т.д.;

3) трансформированные задачи – решаются на основе известных формул в новых ситуациях;

4) творческо-поисковые задачи – решаются на основе творческого сочетания мыслительных операций.

· По форме выражения условия задачи и ответа к ней

1) словесное описание – графическое изображение;

2) графическое изображение – словесное описание;

3) аналитическое задание – словесное описание;

4) словесное описание – аналитическое задание;

5) графическое изображение – аналитическое задание;

6) аналитическое задание – графическое изображение;

7) словесное описание – словесное описание;

8) графическое изображение - графическое изображение;

9) аналитическое задание – аналитическое задание.

· По степени проблемности и творчества

1) алгоритмические;

Алгоритмические задачи — задачи, которые решаются с помощью непосредственного применения определения, теоремы, т.е. для решения которых имеется алгоритм.

Алгоритм сравнения десятичных дробей:

1. Уравнять количество знаков после запятой.

2. Сравнить, не обращая внимания на запятую.

Задача 7.

Сравнить десятичные дроби:

57,3 и 57,321

1. Допишем в первой дроби необходимое количество нулей, чтобы уравнять количество знаков после запятой[13].

57,300 и 57,321

2. Сравним натуральные числа: 57300 и 57321.

2) полуалгоритмические;

Полуалгоритмические задачи — задачи, правила решения которых носят обобщенный характер и не могут быть полностью сведены к объединению элементарных актов. Связи между элементами этих задач легко обнаруживаются учениками. Полуалгоритмические задачи в качестве подзадач содержат алгоритмические задачи.

Например, известны две стороны треугольника и высота, опущенная на третью сторону. Необходимо найти периметр треугольника.

3) эвристические;

Эвристические задачи — задачи, для решения которых необходимо выявить некоторые скрытые связи между элементами условия и требования или найти способ решения, причем этот способ не является очевидной конкретизацией некоторого обобщенного правила, известного ученику, или сделать и то и другое.

Например, известны стороны треугольника. Нужно найти расстояние от середины высоты, проведенной к меньшей стороне, до большей стороны треугольника.

4) проблемные задачи, творческие задачи.

Задача 8.

Решить ребус[13]:

    Д В А

*   Д В А

    * * * *

+ * * * В 

Е * * *____

Ч Е Т Ы Р Е

    Решение:

Буква А ≠1А≠5,А≠6, так как последние цифры множителей и произведения разные. Значит, второе частное произведение может оканчиваться буквой В,

если В=5, а буква А – какую-то нечётную цифру.

ДВА * В = ***В 

 

 

    Д 5 А

*   Д 5 А

    * * * *

+ * * * 5 

Е * * *____

Ч Е Т Ы Р Е

Из столбца шестого разряда видно, что Е <Ч. Следовательно, Е ≠9, поэтому А ≠3,А≠7. Отсюда А = 9, Е = 1. После этого несложно найти, что Ч=2, Д = 4. Решение единственное[4].

    4 5 9                     

*   4 5 9                          

      4 1 3 1

+ 2 2 9 5 

1 8 3 6 _

2 1 0 6 8 1

Воспитанию обучающихся среднего звена необходимо уделять огромное внимание, в частности нужно развивать математический склад ума, так как особенности данного возраста этого требуют.

При работе с математическими задачами, необходимо, прежде всего, помнить, что важно не столько решить задачу, сколько научить учащихся решать задачи, догадываться, рассуждать, обосновывать или опровергать свои догадки и уметь проверять полученный результат. На внеклассных мероприятиях для формирования математического мышления школьники должны уметь решать различные задачи, классификация которых представлена в данной работе.

Список литературы

1. Левитас, Г. Г. Об алгебраическом решении текстовых задач [Текст] // Математика в школе.- 2000.- № 8.- С. 13 - 14.

2. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике. Часть 11. Обучение математике через задачи и обучение решению задач [Текст].- М.: Просвещение, 1977.- 204 с.

3. Нешков, К. И., Семушин, А. Д. Функции задач в обучении [Текст].- 5-е изд.- М.: Просвещение, 1971. - 285 с.

4. Шейнина О.С., Соловьёва Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5 – 6 кл. – М.: НЦ ЭНАС, 2005. – С.33-35.

5. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев. – М.: Просвещение, 2002. – 224 с.

6. Ермолаева Н.А. Маслова Г. Г. Новое в курсе математики средней школы / М:, Просвещение, 1978.

7. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика; Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педагогических институтов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский, -2-е издание переработано и дополнено / М., Просвещение,1980.

8. Программы школьных факультативов по математике.

9. Семенов, Е.М. Развитие мышления на уроках математики [Текст] / Е.М. Семенов, Е.Д. Горбунова. – М.: Педагогика, 2006. – 356 с.

10. Алгебра: Учеб. для 7 кл. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др. Под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2000.