Регуляторы этого типа находят применение в локальных системах с астатизмом первого порядка. Их передаточная функция имеет вид:
, (4.9)
где и – постоянные времени.
При имеем передаточную функцию регулятора с отставанием по фазе, а при – с опережением по фазе.
На рисунках 4.5 и 4.6 показаны асимптотические частотные логарифмические амплитудные характеристики и фазовые характеристики регуляторов при и соответственно.
Рисунок 4.5 | Рисунок 4.6 |
На рисунке 4.5 видно, что регулятор с запаздыванием ведет себя в области частот приблизительно так, как ведет себя ПИ-регулятор. Однако вносимый им отрицательный фазовый сигнал будет влиять на фазовую характеристику системы с астатизмом и при неправильном выборе постоянной времени может существенно снизить необходимый запас устойчивости.
Регулятор с опережением по фазе, частотные характеристики которого показаны на рисунке 4.6, приблизительно соответствует пропорционально-дифференциальному регулятору (ПД). Регулятор вносит положительный фазовый сдвиг что является благоприятным с точки зрения сохранения необходимого запаса устойчивости по фазе локальной системы. Недостатком регулятора является усиление на высоких частотах, что может приводить к увеличению интенсивности высокочастотных помех и наводок.
4.4 Передаточные функции и структурные схемы цифровых
регуляторов
Регуляторы современных локальных систем реализуют на основе микроконтроллеров, контроллеров и микроЭВМ. В этих случаях пропорциональное управление реализуется по-прежнему коэффициента а интегрирование и дифференцирование выполняют в цифровой форме.
Существуют различные методы цифровой аппроксимации интегралов и производных их дискретными аналогами. Один из них основан на использовании Z -форм. Например операция интегрирования заменяется функцией цифрового интегрирования , операция дифференцирования s – функцией цифрового дифференцирования , где T – период квантования. Используя эти замены в уравнении (4.5), получим цифровую форму передаточной функции ПИД-регулятора:
. (4.10)
Структурная схема цифрового ПИД-регулятора представлена на рисунке 4.7.
Рисунок 4.7
Цифровой регулятор изображают в виде структурной схемы (рисунок 4.8).
Рисунок 4.8
Входной сигнал регулятора является последовательностью чисел , представляющих собой выборку значений сигнала Цифровой регулятор выполняет определенные линейные преобразования последовательности и вырабатывает выходную последовательность в виде квантового сигнала
При применении микропроцессорных устройств в качестве регуляторов существуют определенные ограничения, связанные с конечной длинной слова (ошибкой квантования) и с задержкой на время вычисления и дискретизации при выполнении команд в процессоре. Эти факторы оказывают существенное влияние на качество регулирования и устойчивость системы. При высокой частоте дискретизации нет достоверной информации о сигнале из-за ограниченной разрешающей способности измерительных устройств. Это увеличивает ошибку квантования, и возникает угроза нарушения устойчивости.
При низкой частоте дискретизации процессор получает точную информацию о сигнале и достаточное время для его обработки. Однако появляется временная задержка, что ведет к снижению запасов устойчивости системы. Оценить период дискретизации крайне сложно. Поэтому рекомендуется определять его наилучшее значение путем моделирования системы, например, в вычислительной среде MATLAB.
4.5 Расчет параметров регуляторов непрерывного действия
в одноконтурных системах по критерию качества во временной области
Многие промышленные объекты управления одноконтурных систем описываются передаточной функцией первого порядка с запаздыванием
(4.11)
где – коэффициент передачи в установившемся режиме;
– постоянная времени;
– запаздывание (задержка реакции объекта на единичное ступенчатое
воздействие).
Исполнительные устройства систем содержат жесткую обратную связь по скорости исполнительного двигателя и обратную связь по углу поворота выходного вала редуктора, снижая влияние исполнительного устройства на динамику управляемых процессов. Причем, при постоянной времени двигателя передаточную функцию исполнительного устройства заменяют передаточной функцией безынерционного звена .
Располагая значениями параметров объекта управления и практически безынерционным исполнительным устройством, рассчитывают параметры регулятора по формулам, приведенным в таблицах 4.1, 4.2 и 4.3. Таблицу выбирают на основании требований в форме ограничений на время регулирования, величину перерегулирования, степень затухания переходного процесса, чувствительность переходной функции к изменению отношения и др.
Таблица 4.1 – Параметры регуляторов для системы с минимальным временем
регулирования при отсутствии перерегулирования
Тип регулятора | Kp | Ti | Td |
П | |||
ПИ | |||
ПИД |
Таблица 4.2 – Параметры регуляторов для системы с минимальным временем
первого полупериода затухающих колебаний при 20%-ном
перерегулировании
Тип регулятора | kp | Ti | Td |
П | |||
ПИ | |||
ПИД |
Таблица 4.3 – Параметры регуляторов по минимуму чувствительности
переходной функции системы к изменению отношения
при (10…20)%-ном перерегулировании
Тип регулятора | kp | Ti | Td |
П | |||
ПИ | |||
ПИД |
Тип регулятора из таблицы выбирают ориентируясь на величину отношения запаздывания к постоянной времени объекта Т об. При ( / Т об) < 0,2 рекомендуется выбирать пропорциональный П-регулятор, при 0,2 ≤ ( / Т об) < 1 – ПИ– или ПИД-регулятор, а при ( / Т об) ≥ 1 – специальный ПИД-регулятор с блоками для предсказания будущего поведения объекта управления.
Значения параметров регулятора, полученные по приведенным в таблицах формулам, следует рассматривать как отправные. Используя simulink, их необходимо уточнить с учетом особенностей реализации локальной системы.
Пример. Объект с запаздыванием описывается передаточной функцией (4.11). Параметры передаточной функции имеют следующие значения: Т об = 300 с; k об = 0,32; = 125 с. Определите желаемую передаточную функцию регулятора, обеспечивающего минимальное время первого полупериода затухающих колебаний при 20 %-м перерегулировании.
Расчет.
Для отношения ( / Т об) = (129/300) = 0,43 и условия 0,2 < / Т об < 1 выбираем ПИ-регулятор. Параметры регулятора находим по формулам таблицы 4.2:
– коэффициент передачи
– постоянная интегрирования
При расчете параметров регулятора предполагалось, что передаточная функция объекта с запаздыванием точно известна. Однако в лучшем случае она известна с точностью до параметров, которые могут отличаться от реальных значений. В частности представляет интерес исследовать реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие для постоянных (расчетных) значений параметров регулятора и различных отношений / Т об из диапазона значений [0,2…0,8] для объекта.
Для удобства определения реакции системы с помощью simulink введем безразмерное время t *= t, т. е. сжимаем время решения задачи. При этом в передаточных функциях регулятора и объекта осуществляем подстановку: В этом случае передаточная функция разомкнутой системы
(4.12)
принимает вид
(4.13)
Подставим в выражение (4.13) значение параметра
Кроме того, воспользуемся разложением
(4.14)
В результате получим передаточную функцию модели разомкнутой системы
(4.15)
которую удобно использовать при компьютерном исследовании системы замкнутой единичной отрицательной обратной связью.
4.6 Расчет регуляторов одноконтурных системах по критериям
качества в частотной области
Расчет связан с решением следующих задач: синтезом желаемой передаточной функции разомкнутой системы на основе свойств системы в частотной области; определением передаточной функции регулятора; реализацией регулятора с учетом реальных условий его применения; проверкой показателей качества переходного процесса.
Решение задач получим для систем, которые в разомкнутом состоянии без регулятора (W р(s) = 1) имеют передаточную функцию
(4.16)
где К – общий коэффициент усиления системы в разомкнутом состоянии.
Хотя передаточная функция имеет простой вид, тем не менее, она часто встречается в системах, осуществляющих механическое движение рабочих органов объектов необходимое для выполнения рабочего процесса. Выходной координатой этих систем является угол поворота выходного вала системы, а входной, определяющей требуемое значение угла выходного вала, может быть угол поворота задатчика, напряжение, управляющая программа и т. д.
Характерной особенностью систем является их подверженность возмущениям, возникающим в процессе выполнения механических движений и нарушающим управление этими движениями.
Синтез желаемой передаточной функции разомкнутой локальной системы. На начальном этапе синтеза желаемую передаточную функцию W ж(s) выбирают по виду передаточной функции W (s) разомкнутой нескорректированной системы, состоящей из функционально необходимых элементов, например в соответствии с передаточной функцией (4.16) выбирают передаточную функцию
, (4.17)
где К ж, Т 1, Т 2, Т 3 – желаемые значения общего коэффициента усиления разомкнутой системы и постоянных времени, удовлетворяющие требованиям устойчивости, точности установившихся режимов работы к качеству переходных процессов.
Параметры желаемой передаточной функции (4.17) рассчитывают обычно по методике В. А. Бесекерского, используя в качестве исходных следующие данные:
− максимальное установившееся значение статического момента сопротивления нагрузки, приведенного к валу исполнительного двигателя ;
− максимальная угловая скорость нагрузки Wmax;
− максимальное угловое ускорение нагрузки emax;
− допустимое установившееся значение ошибки dmax при движении с постоянной скоростью, равной Wmax, и статическом моменте М С.Н;
− коэффициент наклона механических характеристик двигателя с редуктором g0 = gД i- 1;
− показатель колебательности М.
Расчет можно упростить, если с помощью приведенных ниже формул определить величины, характеризующие частотные свойства системы
–контрольная частота
; (4.18)
− добротность системы по скорости
; (4.19)
– условная добротность системы по ускорению
(4.20)
– базовая частота
. (4.21)
Расчет параметров. Расчет общего коэффициента усиления К ж и первой наибольшей постоянной времени Т 1 можно осуществить различным образом.
Вариант первый. Выбираем
. (4.22)
Тогда требуемое значение коэффициента К ж должно удовлетворять условию
. (4.23)
При этом базовая частота w0 принимает значение
. (4.24)
Вариант второй. Выбираем
. (4.25)
В этом случае желаемый коэффициент усиления разомкнутой системы или добротность по скорости имеет минимально возможное значение
, (4.26)
что благоприятно сказывается на помехозащищенности системы. Однако при этом возрастает условная добротность по ускорению
, (4.27)
а следовательно, и базовая частота
, (4.28)
что приводит к сложному алгоритму работы регулятора.
Вариант третий. Выбираем
. (4.29)
При этом условная добротность по ускорению будет минимальной
. (4.30)
Минимальную величину принимает и базовая частота , что благоприятно сказывается на реализации алгоритма работы регулятора. В то же время общий желаемый коэффициент усиления разомкнутой системы возрастает в два-три раза по сравнению с минимальным значением, равным К W:
. (4.31)
Увеличение К ж может быть нежелательным при работе системы в условиях помех на входе системы или действующих внутри системы.
Для любого варианта постоянные времени Т 2 и Т 3 рассчитывают по следующим формулам
; (4.32)
. (4.33)
Отношение постоянных времени
(4.34)
характеризует запасы устойчивости системы и перерегулирование в переходных режимах работы. Обычно это отношение должно лежать в пределах [6…12].
Пример. Рассчитать параметры желаемой передаточной функции (4.17) по следующим исходным данным:
= 0,2 Н×м; Wmax = 0,32 рад/с; emax = 0,27 рад/с2; g0 = 0,4 рад/нмс; М = 1,26; dmax = 8 угловых минут.
Расчет.
Контрольная частота
с–1.
Добротность системы по скорости
с–1.
Условная добротность системы по ускорению
с–1.
Базовая частота с–1.
Дальнейший расчет проводим для следующих двух вариантов общего коэффициента К ж и наибольшей постоянной времени Т 1.
Вариант первый. Пусть с.
Тогда с–1. Принимаем с–1.
Находим базовую частоту с–1.
Постоянные времени
с;
с.
Желаемая передаточная функция
.
Вариант второй. Пусть постоянная времени с.
Тогда с-1. Принимаем с–1.
Постоянные времени при
с;
с.
Желаемая передаточная функция
.
Расчет регуляторов. Задача состоит в том, чтобы не только усилить сигнал ошибки регулирования U d, но и придать системе желаемые динамические свойства W ж(s). Это означает, что регулятор должен обладать передаточной функцией вида
, (4.35)
где Kр – коэффициент преобразования (усиления) регулятора;
N (s) – дробно-рациональная физически реализуемая функция.
Коэффициент преобразования Kр можно определить из условия K = K ж, подставив в него значение K = K Д K р K П K ДВ i –1:
, (4.36)
Функцию N (s) получают путем деления желаемой передаточной функции W ж(s) на передаточную функцию исходной системы W (s) при K = K ж:
. (4.37)
Подставив в формулу (4.37) выражения (4.16) и (4.17), получим
, (4.38)
где знак (') означает, что постоянная времени является постоянной времени регулятора и, вообще говоря, должна быть численно равна электромеханической постоянной времени исполнительного двигателя Т м.
Физическая реализуемость функции N (s) с помощью RC -фильтров. Реализация функции N (s) в виде электрического четырехполюсника, расположенного перед управляемым силовым преобразователем, показана на рисунке 4.9.
Рисунок 4.9
Фильтр на входе разделительного усилителя описывается передаточной функцией
, (4.39)
где
; . (4.40)
Передаточная функция фильтра, подключенного к выходу разделительного усилителя, имеет вид
, (4.41)
где
; ; . (4.42)
Видно, что второй фильтр ослабляет сигнал в G раз. Чтобы скомпенсировать это ослабление, разделительный усилитель должен обеспечивать усиление, равное 1/ G.
Реализация с помощью ПИД-регулятора. Передаточную функцию (4.38) преобразуем к следующему виду
. (4.43)
Выражение, заключенное в квадратные скобки, представляет собой передаточную функцию классического ПИД–регулятора.
Дифференцирующее звено в выражении (4.43) обычно реализуют совместно с фильтром верхних частот. Передаточная функция физически реализуемого дифференцирующего звена имеет вид
, (4.44)
где , а постоянную времени Т ф выбирают так, чтобы можно было пренебречь влиянием фильтра на запасы устойчивости и динамику системы. Обычно Т ф выбирают из условия Т ф ≤ (0,1…0,15) Т 3.
Зная Тd и Т ф, можно вычислить отношение постоянных времени
, (4.45)
а передаточную функцию (4.44) представить в следующем виде
. (4.46)
Тогда выражение (4.43) при стандартных обозначениях Т 1 = Тi; с учетом (4.46) принимает вид
. (4.47)
Структурная схема физически реализуемого ПИД-регулятора, построенная в соответствии с выражением (4.47), показана на рисунке 4.10.
Рисунок 4.10
Расчет регуляторов в двухконтурной системе. Структурная схема системы показана на рисунке 1.2. Внутренний контур с регулятором Р2 в цепи местной обратной связи позволяет упростить передаточную функцию (4.37) регулятора Р1 в прямой цепи управления.
Действительно, анализ параметров желаемой передаточной функции (4.17) показывает, что постоянная времени Т 1 и Т 2 определяются только параметрами движения нагрузки и требованиями к показателю колебательности системы и никак не зависят от параметров исполнительного устройства. Поэтому для прямого управления подходящим является регулятор Р1 с отставанием по фазе
где
Вид передаточной функции регулятора Р2 в цепи обратной связи осуществляется следующим образом. Если в исполнительном устройстве обратной связью охватывают силовой преобразователь и двигатель, имеющие передаточную функцию
где K 01 = K П K ДВ, то в цепи обратной связи выбирают регулятор пропорционального действия с передаточной функцией
В этом случае результирующая передаточная функция контура определяется выражением
(4.48)
или
(4.49)
где новые параметры имеют вид
(4.50)
(4.51)
Для расчета коэффициента K Р2 целесообразно в формуле (4.51) положить что эквивалентно сокращению нуля и полюса в передаточной функции (4.38). Тогда получим
(4.52)
Из формулы (4.50) следует, что регулятор обратной связи пропорционального действия в (1 + K П K ДВ K Р2) уменьшает коэффициент передачи исполнительного устройства. Поэтому во столько раз необходимо увеличить коэффициент передачи регулятора Р1 в прямой цепи управления.
Функции регулятора обратной связи пропорционального действия обычно реализуют на базе техогенератора с делителем напряжения, как показано на рисунке 4.11.
В том случае, когда охватываемая обратной связью функциональная часть исполнительного устройства имеет передаточную функцию
(4.53)
рекомендуется в цепи обратной связи использовать регулятор с опережением по фазе
(4.54)
Параметры регулятора рассчитывают по следующим формулам:
(4.55)
(4.56)
(4.57)
где Т 1, Т 2, Т 3, Т 4 и K Ж являются параметрами желаемой передаточной функции.
На рисунке 4.12 показана схема, реализующая функции регулятора с опережением по фазе.
Рисунок 4.11 Рисунок 4.12
Выше при выборе регуляторов и расчете их параметров предполагалось, что локальная система обладает достаточным запасом устойчивости и точностью регулирования в условиях постоянного действующего момента сопротивления нагрузки. При этом погрешность, вносимая моментом сопротивления, не превышает заданного значения. Однако двухконтурные системы в установившемся режиме работы позволяют свести эту погрешность к нулю. Необходимо лишь перестроить структурную схему системы. Один из вариантов схемы показан на рисунке 4.13, где K д.с – передаточный коэффициент датчика скорости.
Рисунок 4.13
Пусть Выбираем тогда передаточная функция внутреннего контура по возмущению М С.Н принимает вид
(4.58)
где новая постоянная времени
Появление оператора s в числителе передаточной функции (4.58) указывает на то, что система обладает астатизмом первого порядка по отношению к внешним возмущения. Постоянные во времени внешние моменты М¢с.н не сказываются на точности отработки заданного задающего воздействия в установившемся режиме.