Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле

Неопределенный интеграл.

Множество всех первообразных функции f (x) называют неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначают

(1)

Произносится следующим образом: «Неопределенный интеграл от функции f (x) по dx».

Если F (x) является первообразной f (x), то отсюда следует, что - >

(2)

Однако для упрощения данную формулу принято записывать в виде

(3)

(подразумевая, но не указывая специально, что c – любое число)

В последней формуле f (x) называют подынтегральной функцией, выражение f (x) dx нызывают подынтегральным выражением, а число c называют постоянной интегрирования.

Операцию вычисления (взятия) интеграла по известной подынтегральной функции называют интегрированием функции.

Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле.

Вычисление интегралов (интегрирование) основано на применении следующих правил:

Правило 1 - интеграл от произведения числа на функцию

Справедливо равенство

где k – любое число.

Другими словами, интеграл от произведения числа на функцию равен произведению этого числа на интеграл от функции.

Правило 2 - интеграл от суммы функций

Интеграл от суммы функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

Правило 3 - интеграл от разности функций

Интеграл от разности функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций.

Правило 4 - интегрирование при помощи замены переменной

Из справедливости формулы

вытекает, что

(4)

если все входящие в формулу функции f (φ (x)), φ'(x), F (φ(x)) определены.

Доказательство правила 4.

Воспользовавшись формулой для производной сложной функции, вычислим производную от правой части формулы:

Мы получили подынтегральную функцию из левой части формулы, что и требовалось доказать.

Замечание.

Рассмотрим частный случай формулы, когда функция φ(x) является линейной функцией, то есть

φ (x) =kx + b,

что k и b – произвольные числа, .

В этом случае

φ' (x) =k,

и формула принимает следующий вид

(5)

Выведенную нами с вами последнюю с вами формулы мы выведем в соответствующем виде.

Она используется при решении задач на нахождение неопределенного интеграла.

Пример:

Вычислить интеграл

Ответ.

Материал 2. Вспомогательные инструменты для решения задач.

Таблица интегралов

Основная формула	Обобщения
	, где k – любое число
где n – любое число, не равное – 1	, где n, k, b – любые числа, ,
где n – любое число, не равное – 1	где n – любое число,
, x > 0	, где k, b – любые числа, , kx + b > 0
, x > 0	Где φ (x) > 0
	, где k, b – любые числа,

где a – любое положительное число, не равное 1	, Где a – любое положительное число, не равное 1, k, b – любые числа,
где a – любое положительное число, не равное 1	, Где a – любое положительное число, не равное 1
	, где k, b – любые числа,

	, где k, b – любые числа,

	, где k, b – любые числа, ,
	,
	, где k, b – любые числа, ,
	,
\| x \|<1	где k, b – любые числа, , \| kx+b \|<1
	\|φ(x)\|<1
	где a, b – любые числа,
	, где k, b – любые числа,

	где a, b – любые числа,