Неопределенный интеграл.
Множество всех первообразных функции f (x) называют неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначают
(1) |
Произносится следующим образом: «Неопределенный интеграл от функции f (x) по dx».
Если F (x) является первообразной f (x), то отсюда следует, что - >
(2) |
Однако для упрощения данную формулу принято записывать в виде
(3) |
(подразумевая, но не указывая специально, что c – любое число)
В последней формуле f (x) называют подынтегральной функцией, выражение f (x) dx нызывают подынтегральным выражением, а число c называют постоянной интегрирования.
Операцию вычисления (взятия) интеграла по известной подынтегральной функции называют интегрированием функции.
Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Вычисление интегралов (интегрирование) основано на применении следующих правил:
Правило 1 - интеграл от произведения числа на функцию
Справедливо равенство
где k – любое число.
Другими словами, интеграл от произведения числа на функцию равен произведению этого числа на интеграл от функции.
Правило 2 - интеграл от суммы функций
Интеграл от суммы функций вычисляется по формуле
,
то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.
Правило 3 - интеграл от разности функций
Интеграл от разности функций вычисляется по формуле
,
то есть интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций.
Правило 4 - интегрирование при помощи замены переменной
Из справедливости формулы
вытекает, что
(4) |
если все входящие в формулу функции f (φ (x)), φ'(x), F (φ(x)) определены.
Доказательство правила 4.
Воспользовавшись формулой для производной сложной функции, вычислим производную от правой части формулы:
Мы получили подынтегральную функцию из левой части формулы, что и требовалось доказать.
Замечание.
Рассмотрим частный случай формулы, когда функция φ(x) является линейной функцией, то есть
φ (x) =kx + b,
что k и b – произвольные числа, .
В этом случае
φ' (x) =k,
и формула принимает следующий вид
(5) |
Выведенную нами с вами последнюю с вами формулы мы выведем в соответствующем виде.
Она используется при решении задач на нахождение неопределенного интеграла.
Пример:
Вычислить интеграл
Ответ.
Материал 2. Вспомогательные инструменты для решения задач.
Таблица интегралов
Основная формула | Обобщения |
, где k – любое число | |
где n – любое число, не равное – 1 | , где n, k, b – любые числа, , |
где n – любое число, | |
, x > 0 | , где k, b – любые числа, , kx + b > 0 |
Где φ (x) > 0 | |
, где k, b – любые числа, | |
где a – любое положительное число, не равное 1 | , Где a – любое положительное число, не равное 1, k, b – любые числа, |
, Где a – любое положительное число, не равное 1 | |
, где k, b – любые числа, | |
, где k, b – любые числа, | |
, где k, b – любые числа, , | |
, | |
, где k, b – любые числа, , | |
, | |
| x |<1 | где k, b – любые числа, , | kx+b |<1 |
|φ(x)|<1 | |
где a, b – любые числа, | |
, где k, b – любые числа, | |
где a, b – любые числа, |
Материал 3. Задания для самостоятельной подготовки.
Задание 1.
x)dx
Задание 2.
Задание 3.
Задание 4.
Задание 5.
Что необходимо:
1. Данную лекцию (кроме таблицы) необходимо переписать в тетрадь.
2. Лекцию сфотографировать и отправить до 17/04/2020 до 19:00 на https://vk.com/pianom
3. Решить задания для самостоятельной подготовки.
4. Задания также отправить по указанному адресу до 19/04/2020 12:00.