2020-07-12
61Вопросы для контрольной (2012/13: 310, 311, 312 312A)
1. Определитель. Правило Саррюса. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Подсчет определителей.
2. Свойства определителей. Вычисление определителей с использованием основных свойств. Определитель треугольной формы.
3. 1-я и 2-я теоремы Крамера.
4. Геометрические вектора. Алгебра векторов. Операции с векторами. Единичный вектор.
5. Проекция точки на ось. Проекция вектора на ось. Угол между вектором и осью. Свойства проекций векторов на ось.
6. Линейная зависимость векторов. Координаты вектора. Базис пространства. Алгебра векторов заданных координатами.
7. Разложение вектора по базису. Система координат. Декартовая система координат. Модуль вектора. Направляющие косинусы.
8. Скалярное произведение в декартовой системе координат. Длина вектора. Угол между векторами. Геометрический смысл скалярного произведения. Скалярное произведение в декартовой системе координат.
9. Векторное произведение векторов. Определение. Свойство. Геометрический смысл. Приложение.
10. Смешанное произведение векторов. Определение. Свойство. Геометрический смысл. Тройка векторов.
11. Уравнения прямой на плоскости (L2). Векторная форма, параметрическая, с наклонным коэффициентом. Общее уравнение прямой и общее уравнение прямой проходящей через точку. в L2.
12. Взаимное расположение прямых на плоскости(L2).
13. Расстояние от точки до прямой (L2). Взаимное расположение точки и центра системы координат относительно прямой (L2).
14. Плоскость в n-мерном пространстве. Векторное представление. Уравнение плоскости в общем виде. Уравнение плоскости в отрезках.
15. Запись плоскости через определитель.
16. Нормализованное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости.
17. Алгебраическая форма записи кривой второго порядка.
18. Эллипс.
19. Гипербола и парабола.
20. Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.
21. Эллипсоид. Гиперболоид. Параболоид.
22. Конус. Цилиндрические поверхности. Линейчатые поверхности.
23. Матрицы. Алгебра матриц: умножение на число, сложение, умножение. Свойства операций.
24. Союзная матрица. Основное утверждение о союзной матрице. Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы. Матричное представление линейных уравнений.
Типовые примеры для контрольной по высшей математике.
1.Определить 
, 
; 
, где 
, 
, 
.
2. Упростить выражение 
, если 
; 
; 
, где 
; 
; 
.
3.Разложить вектор 
по векторам 
, 
и 
.
4. Вычислить 
, если 
, 
5. При каком значении числа 
векторы 
, 
и 
линейно независимы?
6. Найти длину высоты DH, составить уравнения высоты DH, записать координаты т.H пирамиды c вершинами в т. т. А(-1,0,0), В(1,-2,-1), С(-1,6, 1), D (-1,0,2).
7. Известны координаты вершин треугольника ABC: А(-1,0,0), В(1,-2,-1), С(-1,6, 1). Составить уравнения высоты АК треугольника АВС, найти длину высоты АК, записать координаты т.K.
8. Известны координаты вершин треугольника ABC: А(-1,0,0), В(1,-2,-1), С(-1,6, 1). Составить уравнение биссектрисы AL треугольника АВС, записать координаты т. L.
9. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(0;1;2) и прямую: x=2t, y=-t+2, z=t+1.
10. Составить уравнение проекции прямой 
на плоскость 5x – y + z – 1 = 0.
11. Найти координаты проекции точки А(7; 1; 1) на плоскость 
.
12. Найти расстояние от точки пересечения прямо 
й и плоскости 
до плоскости 
.
13. Найти угол между прямыми 
и 
14. Найти расстояние между сторонами AD и BC пирамиды c вершинами в т. т. А(-1,0,0), В(1,-2,-1), С(-1,6, 1), D (-1,0,2).
15. Найти расстояние от точки D до прямой проходящей через точки B и C, где В(1,-2,-1), С(-1,6, 1), D (-1,0,2).
17. Найти f (A), если f (x)=x2 – 3x – 2, A= 
.
19. Решить систему уравнений матричным методом: 
20. Решить матричное уравнение:
· X = 
; X 
· = 
21. Решить систему уравнений 
22. Решить систему уравнений 
23. Найти собственные числа и собственные вектора линейного оператора заданного матрицей: 
24. Определить тип кривой второго порядка и построить базис, в котором эта кривая принимает канонический вид. 9x2 - 4xy + 6y2 + 16x – 18y = 2
