Площадь поверхности и объём усеченной пирамиды

Тема: «Пирамида и ее элементы»

Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой.

Элементы пирамиды

апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины;

боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;

боковые ребра — общие стороны боковых граней;

вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра-центр основания);

основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

PS:
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение.

Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.
SK, SN -апофемы, SP-высота, -основание

Формула объема пирамиды:

1) , где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды

Площадь полной поверхности пирамиды:

Площадью поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней .
Площадь боковой поверхности— сумма площадей всех боковых граней .
Если все апофемы равны (например в правильной пирамиде), то площадь ее боковой поверхности вычисляется по формуле:

S_бок=p*d, где p — полупериметр основания, а d -апофема.

Задача: Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 39см, 17см, 28см, боковые ребра равны каждое 22,9см. Определить объем этой пирамиды.

ЗАДАЧИ для самостоятельного решения:

1. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О-центр основания, S- вершина, SO=12, BD=18. Найти боковое ребро SA.

2. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке О. Площадь треугольника ABC равна 9, объём пирамиды равен 6. Найти длину отрезка OS.

3. В правильной треугольной пирамиде SABC: N — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB= 2,а площадь боковой поверхности равна 9. Найдите длину отрезка SN.

4. В правильной четырехугольной пирамиде высота 3м, боковое ребро 5 см. Найти сторону основания.

5. Определить площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона основания 8 см, апофема 6 см.

6. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 6; объем пирамиды равен 8. Найдите длину отрезка OS.

7. Объём данного правильного тетраэдра равен 2 см³. Найдите объём правильного тетраэдра, ребро которого в 3 раза больше данного тетраэдра. Ответ дайте в см³.

Заполните таблицу:

В n -угольной правильной пирамиде a – сторона основания, к – боковое ребро, h – высота, d – апофема, V- объем, S_осн - площадь основания, S_п.п. -площадьполной поверхности

	n	a	к	h	d	S_осн	S_бок	S_п.п.	V
А)	3	12см	15см
Б)	4	13дм	18дм
В)	3	18см		13см
Г)	4	6дм		6 дм

- площадь равностороннего (правильного) треугольника (S_осн - площадь основания правильной треугольной пирамиды)

S_осн=a²- (площадь основания правильной 4-х угольной пирамиды)

S_бок = , P -периметр, d - апофема

m=АК=ВЕ=СF медианы треугольника

BO:OE=2:1, BO=2/3BE, OE=1/3BE

–медиана (биссектриса, высота) равностороннего треугольника, а - сторона треугольника

где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды

Усеченная пирамида

Усеченной пирамидой называется многогранник, у которого вершинами служат вершины основания и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию.

Свойства усеченной пирамиды:

Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники.
Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.
Боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные между собой равнобедренные трапеции и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды равны.

Площадь поверхности и объём усеченной пирамиды

Пусть — высота усеченной пирамиды, и — периметры оснований усеченной пирамиды, и — площади оснований усеченной пирамиды, — площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, — площадь полной поверхности усеченной пирамиды, — объем усеченной пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения: