Понятие правильного многогранника

Тема: «Многогранник и его элементы. Правильные многогранники»

План

1. Понятие многогранника.

2. Симметрия в пространстве.

3. Понятие правильного многогранника.

4. Элементы симметрии правильных многогранников.

 

Понятие многогранника.

Определение. Многогранник или многогранная поверхность - это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

Примеры многогранников: тетраэдр, параллелепипед, октаэдр.

Октаэдр - один из многогранников, составленный из восьми треугольников.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Гранями тетраэдра и октаэдра являются треугольники, гранями параллелепипеда - параллелограммы. Стороны граней называются рёбрами, а концы рёбер - вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называются диагональю многогранника. Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника, называется секущей плоскостью, а общая часть многогранника и секущей плоскости - сечением многогранника.

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые.

 

Определение. Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости каждой его грани. Тетраэдр, параллелепипед, октаэдр - выпуклые многогранники. На рисунке справа представлен

невыпуклый многогранник.

         Все грани выпуклого многогранника являются

выпуклыми многоугольниками. Отметим также, что в

Выпуклом многограннике сумма всех плоских углов

при каждой его вершине меньше 360 .

Симметрия в пространстве.

Понятие правильного многогранника.

Определение. Многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники, а все многогранные углы имеют одинаковое число граней. Все ребра правильного многогранника - равные отрезки, все плоские углы правильного многогранника также равны.

Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если:

1) все его грани – равные правильные многоугольники;

2) в каждой вершине сходится одинаковое количество граней;

3) все его двугранные углы равны.

Следствия. В правильном многограннике равны:

а) все ребра;

б) все плоские и многогранные углы и в каждой вершине сходится одинаковое количество ребер.

Существует всего пять правильных многогранников:

Правильный тетраэдр	Правильный октаэдр	Правильный икосаэдр	Куб (гексаэдр)	Правильный додекаэдр
Составлен из 4-ёх равносторонних треугольников Сумма плоских углов при каждой вершине =180	Составлен из 8-ми равносторонних треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине =240	Составлен из 20-ти равносторонних треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине =300	Составлен из 6-ти квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине =270	Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине =324