Наибольшее и наименьшее значение функции

Если функция f непрерывна на отрезке , то среди ее значений на этом отрезке есть наибольшее и наименьшее.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции f на отрезке , надо:

а) найти ее значение на концах этого отрезка (т. е. числа f(а) и f(b));

б) найти ее значения в точках, где производная функции равна нулю;

в) найти ее значения в точках, где функция f не имеет производной;

г) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Решение многих задач практики приводит к отысканию наибольших или наименьших значений некоторой функции на некотором отрезке.

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Исследуйте функцию и постройте график:

Решение:

1. Область определения функции: ℝ.

2. Область значений функции: ℝ. (Определяем после построения графика).

3. Точки пересечения с осями координат.

3.1. Нули функции:

Данное уравнение решить сложно, поэтому нули функции посмотрим по графику.

3.2. Точки пересечения с осью ОУ: х=0, соответственно у=5.

4. Нахождение критических точек. Определение промежутков возрастания и убывания функции:

ü Найдем производную функции:

ü Приравняем производную к 0, найдем корни уравнения: , , , , .

ü Исследуем промежутки:

Следовательно:

- функция возрастает, - функция убывает.

- точка максимума, - точка минимума.

5. Исследование функции на выпуклость, вогнутость, определение точек перегиба (исследование проводится по второй производной функции).

ü Найдем вторую производную функции:

ü Приравняем к 0, найдем корни уравнения: , .

ü Исследуем промежутки:

ü Следовательно:

- функция выпуклая, - функция вогнутая.

- точка перегиба.

6. Функция не периодическая.

7. Четность, нечетность функции.

функция общего вида.

8. Уточнение графика функции по точкам (произвести окончательное уточнение графика, в особенности на участках, где информация о нем недостаточна).

9. Построение графика.