2020-07-12
142
Тема: Исследование функции с помощью производной.
Краткое изложение темы.
Теорема 1 (достаточное условие экстремума функции). Пусть 
– внутренняя точка области определения функции 
, 
непрерывна в окрестности точки 
и дифференцируема в некоторой ее окрестности, за исключением, возможно, самой точки 
. Если при переходе через точку 
производная функции 
меняет знак, то 
является точкой экстремума. При этом, если производная меняет знак с плюса на минус, то 
– точка максимума, если с минуса на плюс – то 
– точка минимума.
Значение функции в точке максимума называется максимумом функции.
Значение функции в точке минимума называется минимумом функции.
Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума. Минимумы и максимумы функции называются ее экстремумами.
Теорема 2 (необходимое условие экстремума, теорема Ферма). Если 
– точка экстремума функции 
и 
– дифференцируема в точке 
, то ее производная в этой точке равна нулю.
Геометрический смысл теоремы 2. Если 
– точка экстремума функции 
и кривая 
имеет невертикальную касательную в точке 
, то эта касательная – горизонтальная.
|
|
|
Общая схема исследования функций с помощью производной
1. Нахождение области определения функции.
2. Проверка того, является ли функция четной, нечетной, периодической или эта функция – функция общего вида.
3. Определение точек пересечения с осями координат.
4. Нахождение критических точек
(точек, в которых производная равна нулю или не существует).
5. Определение промежутков знакопостоянства функции.
6. Определение промежутков возрастания и убывания функции
(промежутков, на которых производная положительна или отрицательна).
7. Определение экстремумов функции.
8. Исследование функции на выпуклость, вогнутость, определение точек перегиба (исследование проводится по второй производной функции).
9. Нахождение асимптот функции.
10. Уточнение графика функции по точкам (произвести окончательное уточнение графика, в особенности на участках, где информация о нем недостаточна).
В зависимости от конкретных особенностей функции, в схеме можно переставлять отдельные этапы или опускать их, или добавлять.
