2020-08-05
76
1. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Задача с подвижными концами.
2. Экстремум функции многих переменных. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
3. Вероятностное пространство. Независимые события. Теорема сложения. Условная вероятность. Полная система событий. Форма полной вероятности. Формула Байеса.
4. Случайная величина и ее функция распределения. Совместное распределение случайных величин.
5. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, их свойства.
6. Дифференцируемость функций комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Гармонические функции. Восстановление комплексной функции по ее действительной или мнимой части.
7. Интеграл от функции комплексного переменного по контуру. Теорема Коши. Интегральные формулы Коши. Теорема о среднем.
8. Комплексные степенные ряды. Область сходимости комплексного степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование комплексного степенного ряда. Ряды Тейлора комплексных функций.
|
|
|
9. Ряд Лорана. Область сходимости ряда Лорана. Теорема Лорана.
10. Классификация особых точек регулярной функции. Поведение ряда Лорана в окрестности особой точки.
11. Теория вычетов. Основная теорема теории вычетов и ее обобщения. Вычисление определенных интегралов с помощью теории вычетов.
12. Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка от двух переменных. Приведение линейных дифференциальных уравнений второго порядка от двух переменных к каноническому виду. Уравнения с постоянными коэффициентами.
13. Одномерное волновое уравнение. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера. Метод решения неоднородного волнового уравнения.
14. Трехмерное волновое уравнение. Задача Коши для трехмерного волнового уравнения. Формула Пуассона. Метод решения неоднородного волнового уравнения.
15. Метод Фурье (метод разделения переменных). Собственные функции и собственные значения. Решение методом Фурье волнового уравнения на отрезке. Решение методом Фурье неоднородного волнового уравнения.
16. Одномерное уравнение теплопроводности. Решение методом Фурье одномерного уравнения теплопроводности на отрезке. Решение методом Фурье неоднородного уравнения теплопроводности.
17. Задача Коши на прямой для одномерного уравнения теплопроводности. Функция Грина. Задача Коши для трехмерного уравнения теплопроводности (однородный и неоднородный случай).
18. Метод Фурье решения краевых задач для уравнения Лапласа. Задача Дирихле для круга. Интеграл Пуассона.
19. Роль численных методов в физике. Метод Монте-Карло и метод молекулярной динамики (общая характеристика). Граничные условия.
|
|
|
20. Генераторы случайных чисел. Равномерное и неравномерное распределение случайного числа. Алгоритмы получения заданного распределения. Алгоритм Метрополиса получения заданного распределения.
21. Метод Монте-Карло для канонического ансамбля.
22. Метод Монте-Карло для микроканонического ансамбля.
23. Метод Монте-Карло для большого канонического ансамбля.
24. Метод молекулярной динамики.(МД) Численное интегрирование уравнений движения. Выбор временного шага. Консервативные свойства алгоритмов. Усреднение по траектории.
25. Молекулярная динамика микроканонического ансамбля.
26. Молекулярная динамика канонического ансамбля.
27. Численное решение параболических уравнений. Асимптотическая устойчивость неявной схемы. Явные схемы. Многомерное уравнение.
28. Численное решение эллиптических уравнений. Счет на установление. Вариационные и вариационно-разностные методы. Прямые методы решения. Итерационные методы.
29. Численное решение гиперболических уравнений. Волновое уравнение. Схема «крест». Неявная схема. Явная многомерная схема. Факторизованные схемы.
30. Методы Монте-Карло решения уравнений математичекой физики.
Образцы экзаменационных билетов.
Билет №1
1. Уравнения макроскопической электродинамики. Материальные уравнения.
2. Классификация особых точек регулярной функции. Поведение ряда Лорана в окрестности особой точки.
Билет №2
1. Обосновать связь типов твердых тел (металлы, полуметаллы, полупроводники, диэлектрики) с их зонной структурой.
2. Роль численных методов в физике. Метод Монте-Карло и метод молекулярной динамики (общая характеристика). Граничные условия.
Список рекомендуемой литературы для подготовки
К вступительному испытанию.
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Физматлит, 2001.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1988.
3. Давыдов А. С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Физматлит, 2001.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч.1. М.: Физматлит, 2001.
6. Румер Ю.Б., Рывкин С.М. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М.: Наука, 1971.
7. Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. М.: Изд-во МГУ, 1991.
8. Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Теория неравновесных систем. М.: Изд-во МГУ, 1987.
9. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Ч.2. М.: Наука, 2000.
10. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979.
11. Давыдов А.С. Теория твердого тела.(1976).
12. Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела. – М.: Наука, 1978.
13. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.
14. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.
15. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1988, т.1-3
16. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1988.
17. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1989.
18. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.
19. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М: Наука, 1965.
20. Прудников В.В., Вакилов А.Н., Прудников П.В. Фазовые переходы и методы их компьютерного моделирования. Омск,ОмГУ, 2007.
21. Гулд Х., Тобочник Я., Компьютерное моделирование в физике: в 2 частях,М. Мир, 1992.
22. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. – М.: Физматлит, 2003.
23. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.
24. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
