Решение показательных уравнений и неравенств.
Решение тригонометрических уравнений и неравенств.
Цели занятия:
Образовательная: Совершенствовать знания, умения, навыки по данной теме
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности
Обеспечение занятия: доска, ручка, бумага, учебник
Задание№1. Решить уравнение .
ü Заменой данное уравнение сводится к квадратному уравнению . Решая это уравнение, находим его корни: , откуда , . Уравнение имеет корень , а уравнение не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Задание№2. Решить уравнение .
ü Так как 5>0, , то , откуда , .
Задание№3. Решить неравенство .
ü Заменой ,тогда получим квадратное неравенство . Это неравенство выполняется при t <-2, и при t > 1.Так как , то получим два неравенства Первое неравенство не имеет решений, так как при всех Второе неравенство можно записать в виде , откуда x > 0.
Задание№4. Решить уравнение .
|
|
ü Вспомним, что cos x – это абсцисса точки окружности с радиусом, равным 1, полученной в результате поворота точки Р (1; 0) на угол х вокруг начала координат.
Абсцисса 1/2 есть у двух точек окружности и . Так как 1/2 = cos , то точку мы можем получить из точки Р (1; 0) путем поворота на угол = π/3, а также на углы
х = + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …
Точка получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол = - , а также на углы
- + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …
Итак, все корни уравнения cos x = 1/2 можно найти по формулам х = + 2πk
х = - + 2πk, где k € Z.
Две представленные формулы можно объединить в одну:
х = + 2πk, k € Z.
Задание№5. Решить уравнение
ü Это уравнение является квадратным относительно sin x. Обозначим sin x = y, получим уравнение Его корни Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений sin x =1 и sin x = -2.
Уравнение sin x =1 имеет корни
Уравнение sin x = -2 не имеет корней.
Задание№6. Решить уравнение sin7 x +sin3 x =3cos2 x.
ü Применяя формулу для суммы синусов, запишем уравнение в виде
2sin5 x cos2 x =3cos2 x,
2sin5 x cos2 x -3cos2 x =0, откуда
Уравнение имеет корни , а уравнение не имеет корней.
Упражнения
1.Решить уравнение:
1) 2)
3) 4)
2. Решить уравнение:
1) 2) 3) 4)
3. Решить уравнение:
1) 2)
3) 4)
4. Решить неравенство:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
5. Решить неравенство:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
6. Решить уравнение:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .
|
|
7. Решить уравнение:
1) ; 2) ;
8. Решить уравнение:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) =0; 12) =0.
9. Найти все значения а, при которых уравнение имеет корни, и решить это уравнение.
10.Решить неравенство:
1) ; 2) ; 3) .