2020-08-05
51Решение показательных уравнений и неравенств.
Решение тригонометрических уравнений и неравенств.
Цели занятия:
Образовательная: Совершенствовать знания, умения, навыки по данной теме
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности
Обеспечение занятия: доска, ручка, бумага, учебник
Задание№1. Решить уравнение 
.
ü Заменой 
данное уравнение сводится к квадратному уравнению 
. Решая это уравнение, находим его корни: 
, откуда 
, 
. Уравнение имеет корень 
, а уравнение не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Задание№2. Решить уравнение 
.
ü Так как 5>0, 
, то 
, откуда 
, 
.
Задание№3. Решить неравенство 
.
ü Заменой 
,тогда получим квадратное неравенство 
. Это неравенство выполняется при t <-2, и при t > 1.Так как , то получим два неравенства 
Первое неравенство не имеет решений, так как 
при всех 
Второе неравенство можно записать в виде 
, откуда x > 0.
Задание№4. Решить уравнение 
.
ü Вспомним, что cos x – это абсцисса точки окружности с радиусом, равным 1, полученной в результате поворота точки Р (1; 0) на угол х вокруг начала координат.
Абсцисса 1/2 есть у двух точек окружности 
и 
. Так как 1/2 = cos 
, то точку мы можем получить из точки Р (1; 0) путем поворота на угол 
= π/3, а также на углы
х = + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …
Точка получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол 
= - , а также на углы
- + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …
Итак, все корни уравнения cos x = 1/2 можно найти по формулам х = + 2πk
х = - + 2πk, где k € Z.
Две представленные формулы можно объединить в одну:
х = 
+ 2πk, k € Z.
Задание№5. Решить уравнение 
ü Это уравнение является квадратным относительно sin x. Обозначим sin x = y, получим уравнение 
Его корни 
Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений sin x =1 и sin x = -2.
Уравнение sin x =1 имеет корни 
Уравнение sin x = -2 не имеет корней.
Задание№6. Решить уравнение sin7 x +sin3 x =3cos2 x.
ü Применяя формулу для суммы синусов, запишем уравнение в виде
2sin5 x cos2 x =3cos2 x,
2sin5 x cos2 x -3cos2 x =0, откуда 
Уравнение 
имеет корни 
, а уравнение 
не имеет корней.
Упражнения
1.Решить уравнение:
1) 
2) 
3) 
4) 
2. Решить уравнение:
1) 
2) 
3) 
4) 
3. Решить уравнение:
1) 
2) 
3) 
4) 
4. Решить неравенство:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
5. Решить неравенство:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
6. Решить уравнение:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
.
7. Решить уравнение:
1) 
; 2) 
;
8. Решить уравнение:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
=0; 12) 
=0.
9. Найти все значения а, при которых уравнение 
имеет корни, и решить это уравнение.
10.Решить неравенство:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
