Теоретический материал для самостоятельного изучения

РАЗДЕЛ 8. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ТЕМА: Вторая производная, ее геометрический и физический смысл

Цель занятия: дать понятие производной второго порядка; научиться вычислять вторую производную функций.

Порядок выполнения работы:

1) Изучить теоретический материал, составить конспект в тетради;

2) В течение пары выполнить задания по материалу лекции (решить в тетради и выслать фотографии или документ преподавателю в социальной сети или на личную почту);

Контакты преподавателя: Arina_Kozlova96@mail.ru; https://vk.com/rina1996

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ

Если производная f '(x) функции f(x) дифференцируема в точке x₀, то её производная называется второй производной функции f(x) в точке x₀, и обозначается f ''(x₀). Проще говоря, вторая производная — это производная от первой производной.

ПРИМЕР. Найти производную второго порядка функции

Для того чтобы найти вторую производную, вначале надо найти производную первого порядка:

Согласно свойству линейности, имеем:

Решение:

Тогда искомая вторая производная:

Ответ:

Физический смысл производной второго порядка:

Пусть тело движется прямолинейно по некоторому закону s. Тогда вторая производная от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения в данный момент времени: a= s'' или a = v' =s''.

ПРИМЕР. Прямолинейное движение точки совершается по закону: s = (t³ — 2) м.                     

Определить ускорение в момент t = 10 сек.

Решение: Ускорение а =s''

а =((t³ — 2)')'= (3t² - 0)' = 6t

Следовательно, a (10)= 6t = 6*10 = 60; a = 60 м/сек².

Ответ: 60 м/сек².

 

Вторая производная f "(x) имеет также важное значение в анализе и в геометрии; в самом деле, представляя собой скорость изменения наклона f (х) кривой y = f (x), вторая производная дает указание на то, как изогнута кривая.

Функция f (x) называется выпуклой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f (x) в любой точке (x₀, f (x₀)), x₀ (a, b). Функция f (x) называется вогнутой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f (x) в любой точке (x₀, f (x₀)), x₀ (a, b).

Достаточное условие вогнутости (выпуклости) функции:

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале (a, b), тогда:

1) если f '' (x) > 0 для любого x   (a, b), то функция f (x) является вогнутой на интервале (a, b);

2) если f '' (x) < 0 для любого x  (a, b), то функция f (x) является выпуклой на интервале (a, b).

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x₀ существует вторая производная f '' (x₀), то f '' (x₀) = 0.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Найти производную второго порядка функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)