Цилиндрические поверхности

1 2

Лекция 15

6⁰. Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве

1). Найти угол между прямой и плоскостью.

Углом между и называется угол между и ее проекцией на .

. . Тогда

(15.1)

или

2). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую , заданную уравнением и найти расстояние от точки до прямой.

Построим плоскость , содержащую точку и прямую . Уравнение этой плоскости имеет вид: Построим также плоскость , проходящую через точку , перпендикулярно прямой :

Система этих двух уравнений и дает искомый перпендикуляр.

. (15.2)

3). Написать уравнение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым и .

Пусть , и , , тогда - является направляющим вектором искомого перпендикуляра.

а) - вектор нормали плоскости , которая содержит прямую и (или содержит искомый перпендикуляр).

Система этих двух уравнений задает искомый перпендикуляр.

Замечание: 1) , т.е. .

2) , т.е. .

Поверхности II порядка

Алгебраическое уравнение II степени относительно 3-х переменных вида:

(*)

где , ,

определяет поверхность II порядка.

Будем изучать случаи, когда . Уравнение (*) при перечисленных условиях может определять сферу, эллипсоид, параболоид, цилиндрическую поверхность, коническую поверхность и гиперболоиды в зависимости от коэффициентов.

I тип задач

(по геометрическим свойствам поверхности определяется уравнение)

1) Сфера

Определение 15.1.

Множество точек пространства, равноудаленных от данной точки , называемой центром, называется сферой.

Выберем произвольную точку принадлежащую сфере, тогда или

(15.3)

- каноническое уравнение сферы с центром и радиусом .

Цилиндрические поверхности

Определение 15.2

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, описываемая прямой (образующей), движущейся вдоль некоторой линии (направляющей) и остающейся параллельной исходному направлению.