Поверхностей геометрических тел

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ

Методические указания

к индивидуальной графической работе студентов по дисциплине

«Инженерная графика»

 

Цель задания:

а) закрепление теоретических знаний студентов по построению линий пересечения поверхностей;

б) приобретение студентами навыков в построении линий пересечений поверхностей.

Содержание задания: на формате А3 вычертить в трех проекциях заданные геометрические тела и построить линии пересечения их поверхностей.

Поскольку эта тема выносится на самостоятельную работу студентов, приведем общие положения, необходимые для ее выполнения.

Общая линия двух поверхностей называется линией их пересечения. Для определения точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей, применяют способ вспомогательных секущих плоскостей.

 

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Этот способ является универсальным, так как им пользуются при построении линий пересечения, как тел вращения, так и многогранников. Сущность способа заключается в следующем:

1. Заданные поверхности пересекают рядом вспомогательных секущих плоскостей-посредников. Это обычно плоскости частного положения, т.е. параллельные какой-либо плоскости проекции, и проводят их так, чтобы заданные поверхности пересекались по графически простым линиям, проецирующимся в виде прямых или окружностей.

2. Вычерчивают фигуры сечений посредника с каждой из заданных поверхностей в отдельности.

3. Находят точки пересечения фигур сечений, которые и принадлежат искомой линии пересечения поверхностей.

При построении точек линии пересечения сначала находят опорные (характерные) точки, т.е. высшую и низшую, крайние правую и левую, определяющие границу видимости проекций линии пересечения. Эти точки показывают, в каких пределах расположены проекции линии пересечения и где между ними целесообразно определять промежуточные точки для более точного построения линии пересечения поверхностей.

Найдя точки линии пересечения, нужно их последовательно соединить с учетом видимости. Как показывает практика, здесь у студентов чаще всего возникают затруднения. При определении видимости исходят из следующих положений:

1. Видимость определяют на всех проекциях отдельно.

2. При пересечении многогранников отрезок линии пересечения двух граней будет видимым, если обе грани видимы. Если хотя бы одна из пересекающихся граней невидима, то и отрезок линии пересечения невидим.

3. Для кривых поверхностей видимыми являются точки, получающиеся в пересечении двух видимых образующих. Если хотя бы одна из образующих невидима, то и точка линии пересечения невидима.

4. Точки перехода видимой части линии пересечения в невидимую линию всегда находятся на очерковых образующих той или другой поверхности.

Если одна или обе пересекающиеся поверхности являются проецирующими, т. е. перпендикулярными какой-либо плоскости проекции, то линия пересечения поверхностей будет совпадать с этими проекциями поверхностей, и тогда остальные построения упрощаются. Построение линии пересечения поверхностей двух геометрических тел на чертежах и  оформление задания покажем на характерных примерах.

    

Пересечение многогранников

При пересечении двух многогранников образуется одна или две замкнутые пространственные ломаные линии, отдельные отрезки которых являются линиями пересечения граней многогранников, а вершинами этих линий будут точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. На рисунке 1 изображены в трех проекциях две пересекающиеся правильные прямые призмы: трехгранная призма, стоящая на плоскости П₁, и пересекающая ее четырехгранная призма, ребра которой перпендикулярны плоскости П₃.

Так как грани трехгранной призмы являются горизонтально-проецирующими плоскостями, а грани четырехгранной призмы – профильно-проецирующими, то горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией трехгранной призмы, а профильная проекция линии пересечения – с проекцией четырехгранной призмы. В пересечении участвуют три ребра четырехгранной призмы и два ребра трехгранной призмы, которые дают в пересечении с соответствующими гранями одну замкнутую пространственную ломаную линию из 10 вершин. Рассматриваемый вариант пересечения поверхностей будет неполным и называется врезкой одной поверхности в другую. Обозначим на плоскостях П₁ и П₃ проекции точек линии пересечения цифрами 1, 2, 3….. 10. Фронтальные проекции искомых точек линии пересечения 1₂, 2₂, …..10₂ найдем простым проецированием, пересекая вертикальные линии связи, восстановленные из горизонтальных проекций точек 1₁, 2₁, …..10₁ с соответствующими горизонтальными линиями связями, проведенными из профильных проекций точек 1₃, 2₃, …..10₃.

 

Рисунок 1

 

Соединяя построенные точки линии пересечения поверхностей, учитывают следующее: а) соединять между собой можно проекции только тех точек, которые одновременно находятся на поверхности только одной грани каждой из пересекающихся призм. (Нельзя, например, соединять точки 3₂ и 5₂, так как для треугольной призмы они лежат на одной грани, а для четырехгранной на разных); б) каждая точка соединяется только с двумя другими; в) последовательность соединения точек определяется анализом горизонтальной и профильной проекции линии пересечения.

При определении видимости на фронтальной проекции устанавливаем, что видимыми будут только участки линии пересечения 1₂10₂  и  5₂6₂, так как они одновременно принадлежат видимым граням обеих призм.

 

Пересечение многогранника с телом вращения

 В пересечении тела вращения с многогранником получают одну или две замкнутые линии, отрезки которых являются кривыми или прямыми линиями, которые имеют точки перелома, лежащие на ребрах многогранника. На рисунке 2 изображено пересечение прямого кругового конуса с треугольной призмой, грани которой перпендикулярны плоскости проекции П₂. В данном примере применение плоскостей, параллельных горизонтальной плоскости проекций, вполне решает вопрос о нахождении точек для искомой кривой.

Наметим на фронтальной плоскости проекций опорные точки 1₂, 2₂, 3₂. В качестве секущих плоскостей-посредников примем горизонтальные плоскости уровня, параллельные П₁, которые пересекают конус по окружности, а боковые грани призмы по прямым линиям.

Плоскость уровня α₁, проведенная через верхнее ребро призмы, пересекает конус по окружности радиуса R₁. Горизонтальная проекция этой окружности в пересечении с проекцией верхнего ребра призмы дает искомую точку 1₁. Проекции опорных точек 2₁ и 3₁, принадлежащие нижним ребрам призмы, определены при помощи плоскости-посредника α₄. Дуга окружности между точками 2₁ и 3₁ является горизонтальной проекцией линии, по которой нижняя грань призмы пересекает поверхность конуса.

Аналогично находим промежуточные точки 4,5,6,7. Горизонтальные проекции точек 5и 6 определены при помощи плоскости α₂ , проекции точек 4 и 7 при помощи плоскости α₃ .Так как боковые грани призмы симметричны относительно оси конуса, то на профильной проекции линия пересечения 1₃5₃4₃2₃ совпадает с 1₃6₃7₃3₃.

 

Рисунок 2