Теоретические основы расчета Согласно СНиП 2.03.01-84 и СП 52-101-2003 расчет тавровых поперечных сечений без арматуры в сжатой зоне рекомендуется выполнять с использованием следующих положений: 1. а) Если нейтральная плоскость (граница между сжимаемой и растягиваемой зонами сечения) проходит в полке (рисунок 326.1.а), т.е. соблюдаются условия: RsAs < Rbb'fh'f (326.1.1) M ≤ Rbb'fh'f(ho - 0.5h'f) (326.1.2) и ξ = у/ho < ξR (220.6.1) то расчет производится, как для балки прямоугольного сечения с шириной b'f. Подробности расчета по такому алгоритму подробно расписаны в статье "Расчет железобетонной плиты перекрытия". Здесь же приведу только основные формулы: ξR - предельно допустимое значение относительной высоты сжатой зоны бетона, определяемое по следующей формуле:  (220.6.2) где Rs - расчетное сопротивление арматуры в МПа. Также предельное значение относительной высоты сжатой зоны бетона можно определить по таблице: Таблица 220.1. Граничные значения относительной высоты сжатой зоны бетона  Примечание: При выполнении расчетов не профессиональными проектировщиками, ограничивающимися только расчетами по первой группе предельных состояний, я рекомендую занижать предельное значение относительной высоты сжатой зоны ξR (и значение аR) в 1.3-1.5 раза. В связи с этим возможный вариант расчета, когда y > ξRho, далее не рассматривается. При определении сечения арматуры сначала определяется коэффициент am:  (220.6.6) при аm < aR арматура в сжатой зоне не требуется, значение аR определяется по таблице 220.1. При отсутствии арматуры в сжатой зоне сечение арматуры определяется по следующей формуле:  (220.6.7) В формулах (220.6.6) и (220.6.7) значения b заменяются на b'f.  Рисунок 326.1 1. б) Если нейтральная плоскость проходит в ребре балки (рисунок 326.1.б), то расчет выполняется, исходя из следующего условия: M < Rbbу (h0 - 0,5у) + Rbh'f(b'f - b)(h0 - 0.5h'f) (326.2) где (b'f - b)h'f = Aov - площадь сечения свесов полки. При этом высота сжатой зоны у определяется, исходя из следующих формул: RsAs = Rbby + Rbh'f(b'f - b) (326.3.1) y = (RsAs - RbAov)/Rbb (326.3.2) при этом высота сжатой зоны принимается у ≤ ξRho. При определении сечения арматуры сначала определяется коэффициент am:  (326.4.1) при аm < aR арматура в сжатой зоне не требуется, значение аR определяется по таблице 220.1 (см. выше). При отсутствии арматуры в сжатой зоне сечение арматуры определяется по следующей формуле:  (326.4.2) 2.Так как ширина полки таврового сечения может быть достаточно большой, например для балок, входящих в состав балочного монолитного перекрытия, то ширина полки балки b'f принимается с учетом следующих условий: 2.1. Ширина свеса полки в каждую сторону от ребра балки bсв = (b'f - b)/2 (на рисунке 326 не показана) должна быть не более 1/6 длины пролета рассчитываемого элемента, а также не более: 2.2. При наличии поперечных ребер (второстепенных балок при расчете главных балок или главных балок при расчете второстепенных балок, при этом ребро рассматриваемой балки считается продольным) или при h'f ≥ 0.1h расчетная ширина полки b'f принимается равной 1/2 расстояния между продольными ребрами в свету. 2.3. При отсутствии поперечных ребер или при расстоянии между поперечными ребрами большем, чем расстояния между продольными ребрами и при h'f < 0.1h расчетная ширина полки b'f = 6h'f. 2.4. При консольных свесах полки (при расчете отдельных балок таврового сечения, не входящих в состав разного рода перекрытий): а) при h'f ≥ 0.1h расчетная ширина полки b'f = 6h'f; б) при 0.05h ≤ h'f < 0.1h расчетная ширина полки b'f = 3h'f; в) при h'f < 0.05h свесы полок в расчетах не учитываются. 2.5. При изменяющейся высоте свесов полки в расчетах допускается использовать среднее значение высоты h'f. Все это, так сказать, теоретические, а потому не совсем понятные положения, давайте посмотрим, как их можно применить на практике. Пример расчета на прочность балки таврового сечения Планируется монолитное перекрытие в жилом помещении размерами 5х8 метров с 4 главными балками. Предварительно принятая высота основной плиты 8 см, предварительные размеры балок 10х15 см:  Рисунок 326.2 Примечание: На общей расчетной схеме (рис.326.2.а) размеры даны в миллиметрах, а размеры поперечного сечения балки (рис.326.2.б) даны в сантиметрах для упрощения дальнейших расчетов. Конструктивная арматура основной плиты для упрощения расчетов не учитывается. 1. Если и основная плита и балки будут бетонироваться одновременно, то высота основной плиты будет высотой полки h'f, а общая высота тавровой балки h = 8 + 15 = 23 см, а = 2.5 см, ho = 20.5 см. Для перекрытия будет использоваться бетон класса В20, с расчетным сопротивлением сжатию Rb = 11.5 МПа (117 кгс/см2) и арматура класса AIII (А400), имеющая расчетное сопротивление растяжению Rs = 355 МПа (3600 кгс/см2). В случае если бетонная смесь будет приготавливаться в домашних условиях (т.е. без должного контроля прочности образцов) и бетонирование будет выполняться не специалистами расчетное сопротивление бетона следует понизить. СНиПом СНиП 2.03.01-84 понижающий коэффициент, учитывающий качество выполнения работ, для подобных случаев не предусмотрен, да и тяжело предугадать, насколько сильно вышеуказанные причины могут повлиять на расчетное сопротивление бетона. Ориентировочно значение этого коэффициента может составлять от 0.5, если нет уверенности в своих силах, до 0.9, если уверенность в своих силах высокая. Дальнейший расчет будет производиться с использованием коэффициента качества работ γк = 0.9. Тогда расчетное значение сопротивления бетона сжатию составит: Rb = 117·0.9 = 105.3 кг/см2 2. Пролет балок составляет 5 м, при этом bсв ≤ 500/6 = 83 см, первое условие соблюдается. Рассматриваемая балка входит в состав монолитного перекрытия, при этом высота плиты 8 см > 0.1h = 2.3 см, согласно п.2.2 расчетная ширина полки составит: b'f = 152/2 = 76 см 3. Для определения высоты сжатой зоны сечения сначала необходимо определить максимальный изгибающий момент, действующий в рассматриваемом поперечном сечении тавровой балки. А для этого нужно знать нагрузки, действующие на перекрытие. При расчете перекрытий жилых зданий в качестве расчетной временной нагрузки можно использовать следующее значение qвр = 400 кг/м2. Для балок с шагом 162 см расчетная временная нагрузка на погонный метр составит qвр = 400·1.62 = 648 кг/м Примечание: Более точное значение расчетной нагрузки следует определять по СНиП 2.01.07-85 "Нагрузки и воздействия", где приводятся значения нормативных нагрузок. Согласно указанного СНиП для плит перекрытий в квартирах жилых зданий нормативное значение распределенной нагрузки составляет 150 кг/м2. Затем это значение нужно умножить на коэффициент надежности по нагрузке, при таком значении нормативной нагрузки составляющий γн = 1.3 (1.4 по старым нормам). Таким образом расчетное значение временной нагрузки без учета стяжки, напольного покрытия и возможных других временных нагрузок составит qсв = 150·1.3 = 195 кг/м2 Как показывает практика, если к определенной таким образом временной распределенной нагрузке прибавить временные нагрузки от выравнивающей стяжки, напольного покрытия и др., умноженные на соответствующие коэффициенты надежности по нагрузке, то суммарная временная нагрузка будет немного меньше указанных 400 кг/м2. Если до начала расчетов известна толщина будущей стяжки, вид напольного покрытия, расположение мебели и инженерного оборудования, то значение суммарной временной нагрузки можно рассчитать более точно. При этом значение расчетной временной нагрузки может снизиться на 30-70 кг/м2. Тем не менее дальнейший расчет будет выполняться по указанной выше временной нагрузке 400 кг/м2. Примечание: Устройство каких-либо перегородок данным расчетом не предусматривается. Если по перекрытию планируется устройство перегородок, то следует предусмотреть отдельные балки под перегородки и рассчитать их с учетом возможных нагрузок. Исключение могут составлять легкие перегородки из ГКЛ, возле которых не будет устанавливаться мебель. Постоянная нагрузка от собственного веса монолитного перекрытия на одну балку будет составлять qп = (0.08·1.62 + 0.1·0.15)2500 = 361.5 кг/м. Коэффициент надежности по нагрузке для бетонных и железобетонных конструкций составляет γн= 1.1. Тогда расчетное значение постоянной нагрузки составит qпр = 361.5·1.1 = 397.65 кг/м. Таким образом суммарная распределенная нагрузка на балку составит: qр = qп + qв = 397.65 +648 = 1045.65 кг/м Тогда максимальный изгибающий момент для бесконсольной балки на двух шарнирных опорах: Мmax = ql2/8 = 1045.65·52/8 = 3267.656 кг·м = 326765.6 кг·см Почему это так, достаточно подробно рассказывается в другой статье. 4. Проверяем выполнение условия (326.1.2): M = 326765.6 < Rbb'fh'f(ho - 0.5h'f) = 105.3·76·8(20.5 - 4) = 1056369.6 5. Условие выполняется, расчет сечения арматуры в сжатой зоне можно производить по формулам (220.6.6) и (220.6.7), тогда: аm = 326765.6/(105.3·76·20.52) = 0.09716 6. am = 0.09716 < aR = 0.39/1.5 = 0.26, значит арматура в сжатой зоне не требуется, тогда требуемая площадь сечения арматуры в сжатой зоне составит: Аs = 105.3·76·20.5(1 - √1 - 2·0.09716)/3600 = 4.67 см2 Диаметр арматуры можно подобрать по следующей таблице: Таблица 2. Площади поперечных сечений и масса арматурных стержней.  7. Для армирования балки можно использовать 2 стержня диаметром 18 мм, площадь сечения стержней составит 5.09 см2. 8. Проверяем соблюдение необходимой толщины защитного слоя бетона при выбранной арматуре. Толщина защитного слоя согласно п.5.5 СНиП 2.03.01-84 должна быть не менее диаметра арматуры и ≥ 15 мм. В нашем случае толщина защитного слоя бетона составит: hз = а - d/2 = 25 - 18/2 = 16 мм Условие не выполнено, поэтому для расчетов следует принять большее значение а. Например, при а = 27 мм ho = 20.3 см. аm = 326765.6/(105.3·76·20.32) = 0.0991 Аs = 105.3·76·20.3(1 - √1 - 2·0.0991)/3600 = 4.71 см2 9. Расстояние в свету между стержнями арматуры составит 100 - 2а - d = 100 - 54 - 18 = 28 мм. Это означает, что для для бетонирования балки следует использовать бетонную смесь с максимальным размером зерен щебня 28 мм. Если предполагается использование крупного заполнителя больших размеров, то следует или увеличить ширину балки, или увеличить высоту балки, что позволит уменьшить диаметр используемой арматуры. Примечание: если балки и плита будут бетонироваться отдельно, то тогда балки следует рассчитывать как элементы прямоугольного сечения с высотой, равной высоте балок. Пример расчета балки таврового сечения с учетом прогиба Выполненный выше расчет на прочность (расчет по первой группе предельных состояний) как правило для шарнирно опертых однопролетных балок недостаточен и требует дополнительного расчета по деформациям. Методик определения прогиба ж/б конструкций существует несколько. На мой взгляд проще всего определить приблизительное значение прогиба при расчете по допускаемым нагрузкам. Расчет по допускаемым нагрузкам, предполагающий упругую работу материала и не предусматривающий пластические деформации в сжатой зоне бетона, дает следующие результаты: При определенных выше параметрах высота сжатой зоны бетона составит: y = √3M/2b'fRb = √3·326765.6/2·76·105.3 = 7.826 см При этом требуемая высота сжатой зоны при расчете по деформациям определяется решением следующего кубического уравнения: у3 = 3As(ho - y)2Es/b'fEb (321.2.4) и при Еb = 270000 кгс/см2, Es = 2000000 кгс/см2, составит примерно уf = 6.53 см (ур = 5.234 см). Тогда при Ip = b'f(2yp)3/12 = 76(2·5.234)3/12 = 7264.8 см4 примерный прогиб балки составит: f = 0.83·5·10.456·5004/(384·270000·7264.8) = 3.6 см > fu = 500/250 = 2 см (согласно СНиП 2.01.07-85) Это достаточно большой прогиб и для его уменьшения можно увеличить количество балок, но можно и увеличить высоту и ширину сечения принятого количества балок, тем более, если это необходимо сделать для использования бетонной смеси с крупным щебнем. Например, при увеличении высоты балки всего на 2 см - до 17 см и ширины балки до 11 см и при той же арматуре ho = 22.3 см: уf = 7 см (yp = 6.174 см), Ip = 76(2·6.174)3/12 = 11924 см4, приблизительный прогиб f = 0.83·5·10.456·5004/(384·270000·11924) = 2.194 см ≈ fu = 2 см. Примечание: приведенная методика определения прогиба не является рекомендованной нормативными документами, к тому же для упрощения расчетов не учитывалось то, что немного увеличится нагрузка от собственного веса балки. Тем не менее такая методика позволяет достаточно быстро определить приблизительное значение прогиба и оценить его влияние на работу конструкции. Пример расчета на прочность балки таврового сечения с учетом изменения высоты полки Так как при расчетах плиты принята новая высота плиты h = 6 см, то это вносит ощутимые изменения в значение постоянной нагрузки и в параметры тавровой балки. В этом случае при общей высоте балки h = 25 см постоянная нагрузка от собственного веса монолитного перекрытия на одну балку будет составлять qп = (0.06·1.62 + 0.11·0.19)2500 = 295.25 кг/м. Тогда расчетное значение постоянной нагрузки составит qпр = 295.25·1.1 = 324.8 кг/м. Таким образом суммарная распределенная нагрузка на балку составит: qр = qп + qв = 324.8 +648 = 972.8 кг/м Мmax = ql2/8 = 972.8·52/8 = 3040 кг·м = 304000 кг·см 4. Проверяем выполнение условия (326.1.2): M = 304000 < Rbb'fh'f(ho - 0.5h'f) = 105.3·76·6(22.3 - 3) = 926724.2 5. Условие выполняется, расчет сечения арматуры в сжатой зоне можно производить по формулам (220.6.6) и (220.6.7), тогда: аm = 304000/(105.3·76·22.32) = 0.07638 Аs = 105.3·76·22.3(1 - √1 - 2·0.07638)/3600 = 3.943 см2 Как видим требуемая площадь сечения уменьшилась, но так как мы принимали сечение арматуры с учетом прогибов, то диаметр арматуры оставляем без изменения 2 стержня d = 18 мм. При этом высота сжатой зоны бетона составит: y = √3M/2b'fRb = √3·304000/2·76·105.3 = 7.55 см Требуемая высота сжатой зоны при расчете по деформациям составит примерно уf = 7.07 см Однако такая высота сжатой зоны означает, что нейтральная линия будет проходить не в полке а в ребре балки, и значение у также будет другим. По более точной формуле значение моментов инерции полусечений составит: Iв = b'fhf(y/2)2 +b'fhf3/12 + b(y - hf)((y - hf)/2)2 + b(y - hf)3/12 = Iн = As(ho - y)2Es/Eb (321.2.3.2) тогда, подставив имеющиеся значения, получим: 76·6(у/2)2 + 76·63/12 + 11(у - 6)(y/2 - 3)2 + 11(y - 6)3/12 = 5.09(22.3 - y)22000000/270000; 114y2 + 1368 + 2.75(y - 6)3 + 0.917(y - 6)3 = 43.704(22.3 - y)2; у ≈ 8.08 см Так как требуемая высота сжатой зоны при расчете на прочность больше, чем высота сжатой зоны при расчете по деформациям (разница составит примерно 7.55-7.05 = 0.5 см), то при приближенном расчете (без учета области пластических деформаций) расчетное значение высоты полки составит 6 - 0.5 = 5.5 см, тогда Ip = 76·5.5·3.792 + 76·5.53/12 + 3.667·2.083 = 6004.2 + 1053.71 +33 = 7090.9 см4, тогда примерный прогиб балки составит: f = 0.83·5·9.73·5004/(384·270000·7090.9) = 3.43 см > fu = 2 см, а значит высоту балок желательно увеличить еще. Например, при общей высоте h = 30 см у ≈ 10.02 см Ip = 76·5.5·4.762 + 76·5.53/12 + 3.667·4.023 = 9470.9 + 1053.71 + 238.2 = 10762.8 см4, тогда примерный прогиб балки составит: f = 0.83·5·9.73·5004/(384·270000·7090.9) = 1.9 см < fu = 2 см Если произвести расчет с учетом изменяющего модуля упругости бетона, то при Еb1 = 270000/(1 + 2.8) = 71052.6 кг/см2. 76·6(у/2)2 + 76·63/12 + 11(у - 6)(y/2 - 3)2 + 11(y - 6)3/12 = 5.09(27.3 - y)22000000/71052.6; 114y2 + 1368 + 2.75(y - 6)3 + 0.917(y - 6)3 = 166.0752(27.3 - y)2; у ≈ 14.45 см и в этом случае высота сжатой области сечения принимается без изменений, тогда Ip = 2·27410 = 54820 см4, тогда примерный прогиб балки составит: f = 0.96·5·9.73·5004/(384·71052.6·54820) = 1.95 см < fu = 2 см |
2020-08-05
780
