Геометрический и физический смысл производной.
Геометрический смысл производной.
Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0:
Физический смысл производной.
Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:
Примеры.
1. Найти значение производной функции
в точке
Решение.
Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования сложной функции:
Ответ: .
2. Составить уравнение касательной к графику функции y=x+e-2x, параллельной прямой y=-x
Решение.
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания x0. Т.к. касательная параллельна прямой y=-x, значит ее угловой коэффициент равен –1. Таким образом, f ' (x0)=-1. Найдем значение x0.
Уравнение касательной:
Уравнение касательной: y=1-1(x-0)=1-x
Ответ: y=1-x.
3. На параболе у=х2-2х-8 найти точку М, в которой касательная к ней параллельна прямой 4х+у+4=0.
|
|
Решение.
Определим угловой коэффициент касательной к параболе у=х2-2х-8:
k =у'=(х2-2х-8)'=2х-2.
Найдем угловой коэффициент прямой 4х+у+4=0:
у=-4х-4, k =-4.
Касательная к параболе и данная прямая по условию параллельны. Следовательно, их угловые коэффициенты равны, т.е.
2х-2=-4;
х=-1 – абсцисса точки касания.
Ординату точки касания М вычислим из уравнения данной параболы у=х2-2х-8, т.е.
у(-1)=(-1)2-2(-1)-8=-5, М(-1;-5).
Ответ: М(-1;-5).
Механический смысл производной.
Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x (t) времени t. В течение интервала времени от t 0 до t 0 + точка перемещается на расстояние: x (t 0 + ) - x (t 0) = , а её средняя скорость равна: va = / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v (t 0) материальной точки в момент времени t 0. Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v (t 0) =x’ (t 0), т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ (t).
Пример1.
Дан закон движения в точке x = e tsin (t+ )
Найти скорость в точке t = 0.
= e tcos (t+ ) + e tsin (t+ ) = e 0cos (0+ ) + e 0sin (0+ ) = 1+0 =1
Домашнее задание.
1.Вычислить производную в точке x0
y = sin5x, x0=0;
y= x6sin
y = cos2x+x2/5 – 20, ;
y = (3x – 2)5, x0=0;
2.Записать уравнение касательной к кривой в точке x0. Найти k, b.
1. y = 3x 2, x0=1;
2. y =
3.Найти скорость точки, движущейся по заданному закону, в момент to
1).S = tsin t, to =1; 2). S= 3). S=
|
|