УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ
План:
- Различные типы уравнений прямой на плоскости.
- Связь между типами уравнений прямой на плоскости.
- Взаимное расположение прямых на плоскости.
- Угол между двумя прямыми.
Теоретические положения
Прямая линия на плоскости
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. y= kx + b.
Общее уравнение прямой. Ах + Ву + С = 0
Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом и проходящей через данную точку. y-y1=k(x-х1).
Уравнение прямой в отрезках.
Основные задачи на прямую
1. Составить уравнение произвольной прямой, проходящей через точку M1(x1;y1). Пусть уравнение искомой прямой
Ах + Ву + С = 0. (1)
Значит, M1 лежит на этой прямой. Поэтому
Ax1+By1 + C = 0. (2)
Вычитая из (1) почленно (2), получаем
A(x-x1)+B(y-y1)=0. (3)
Очевидно, при любых А и В уравнению (3) удовлетворяют координаты точки M1.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через две данные (различные) точки M1(x1; y1) и M2(x2; у2). Уравнение прямой, проходящей через точку M1(x1;y1), имеет вид (3). Так как прямая проходит и через точку М2, то
А(х2-х1)+В(у2-у1) = 0, откуда
(4)
3. Угол между двумя прямыми. Рассмотрим на плоскости две прямые
l1(y = k1x + b1) и l2(y = k2x +b2) с углами наклона к оси Ох соответственно φ1 и φ2 (рис. 12).
4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Если две прямые l1 и l2 лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения:
1) пересекаются (т.е. имеют одну общую точку);
2) параллельны и не совпадают;
3) совпадают.
Если прямые l1 и l2 параллельны, то φ1 = φ2 и, следовательно, k1 = k2, т.е. параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты.
Пусть φ= π / 2, т.е. l1 и l2 взаимно перпендикулярны. В этом случае k 2= - 1 / k 1
т. е. угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
Задания для работы в аудитории
1. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку М(0;b) и имеющей угловой коэффициент k: а) М(0;2), k=1; б) М(0;0), k=-1.
2. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку М (х0;у0) и имеющей угловой коэффициент k: а) М(1;1), k=2; б) М(-2;3), k=-4.
3. Составьте уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок а) b=3, и образующий с положительным направлением оси угол φ=π/4; б) b=3, и образующий с положительным направлением оси угол φ=3π/4.
4. Составьте уравнение прямой, проходящей через а) начало координат и точку А(-2;3); б) начало координат и точку В(2;-3).
5. Дано общее уравнение прямой -12х-5у-65=0. Напишите это уравнение в виде: а) уравнения прямой с угловым коэффициентом; б) уравнения прямой в отрезках.
6. Дано общее уравнение прямой 2х-3у-12=0. Напишите это уравнение в виде: а) уравнения прямой с угловым коэффициентом; б) уравнения прямой в отрезках.
7. Постройте прямые: а) ; б) ; в) ; г) .
8. Прямая проходит через точки А и В: а) А(0;2), В(5;0); б) А(-3;0), В(0;-2); в) А(0;1), В(-2;0). Напишите уравнение прямой в отрезках.
9. Параллельны ли прямые: а) 2х+3у-7=0 и 2х+3у+9=0; б) у=2х+3 и 4у-8х=1; в) х=3 и 10у+5=0?
10. Перпендикулярны ли прямые: а) 3х-5у+7=0 и 10х+6у-3=0; б) 2х-3у+11=0 и х+2у-1=0?
11. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А (2;3) и: а) параллельно прямой у=2х+5; б) перпендикулярно прямой у=2х+5.
12. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А (-1;2) и: а) параллельно прямой у=4х-7; б) перпендикулярно прямой у=4х-7.
13. Найдите координаты точки пересечения прямой 4х-3у-10=0 а) с осью Ох; б) с осью Оу.
14. Найдите координаты точки пересечения прямой 4х-3у-10=0 а) с осью Ох; б) с осью Оу.
15. Найдите точку пересечения двух прямых: а) 2х-4=0 и х-3у+1=0; б) 7х-9у+15=0 и 19х+12у-20=0.
16. Определите координаты вершин треугольника, если даны уравнения его сторон 2х+4у+1=0, х-у+2=0 и 3х+4у-12=0.
17. Даны уравнения сторон треугольника 2х-5у=3, х+3у=7 и 3х-2у+1=0. Напишите уравнение его высот.
18. Найдите угол между прямыми: а) у=- 2/5 х + 3 и у= 3/7 х +2/7; б) 6х+8у+5=0 и 2х-4у-3=0.
19. Под каким углом пересекаются прямые: а) х-2у-2=0 и у= ; б) 3х+у-2=0 и х-3у+1=0; в) 4х-6у+7=0 и 20х-30у-11=0?
20. Найдите расстояния от точек О(0;0), А(1;2), С(-2;1), К(-3;0) до прямой 3х-4у+10=0.
21. Даны уравнения сторон треугольника х-3у+5=0, 3х+4у+2=0 и 5х-2у-14=0. Найдите длины высот, опущенных на первые две указанных прямых, определяющих стороны треугольника.
22. Через точку пересечения двух прямых: 2х-у-3=0 и х-3у-4=0 проведена прямая, параллельная прямой х+у=1. Напишите уравнение проведенной прямой.
23. Через точку пересечения двух прямых: х+2у+2=0 и 3х+4у+9=0 проведен перпендикуляр к прямой 2х+3у-6=0. Напишите уравнение этого перпендикуляра.
24. Даны 2 стороны параллелограмма х-у+1=0 и 3х+2у-12=9 и точка К(6;4) – точка пересечения его диагоналей. Напишите уравнения двух других сторон параллелограмма.
25. Дано общее уравнение прямой 2х-3у + 6=0. Напишите это уравнение в виде: а) уравнения прямой с угловым коэффициентом; б) уравнения прямой в отрезках.
26. Определите длину отрезка прямой а) , заключенного между точками пересечения прямой с осями координат.
Домашнее задание № 7
1. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку М(0;-3) и имеющей угловой коэффициент k=1/2.
2. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку М(-2;5) и имеющей угловой коэффициент k=-2.
3. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А (2;5) и отсекающей на оси ординат отрезок b=7.
4. Составьте уравнения прямых, проходящих через стороны треугольника с вершинами А(1;3), В(0;2), С(-1;1). Постройте прямые.
5. Прямая проходит через точки А(0;1) и В(-2;0). Напишите уравнение прямой в отрезках.
6. Определите площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой .
7. Параллельны ли прямые: а) 3х-6у+4=0 и 5х-10у-1=0; б) у=х+1 и 2у-х=1; в) 3х-5у=0 и 6х+10у+5=0?
8. Перпендикулярны ли прямые: а) 3х-у-3=0 и х+3у-17=0; б) 2х+5у-6=0 и 5х+2у-3=0?
9. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А(-3;2) и а) параллельно прямой 7х+4у-11 =0; б) перпендикулярно прямой 7х+4у-11 =0.
10. Найдите координаты точки пересечения прямой 3х-4у+12=0 а) с осью Ох; б) с осью Оу.
11. Определите координаты вершин треугольника, если даны уравнения его сторон х-3у+11=0, 5х+2у-13=0 и 9х+7у-3=0.
12. Даны координаты вершин треугольника А(0;1), В(6;5) и С(12;-1). Напишите уравнение высоты и медианы, проведенной из вершины С.
13. Под каким углом пересекаются прямые: а) у=3х+5 и у=-2х+7; б) 3х+у-7=0 и 2х-у+1=0?
14. Найдите расстояния от точек О(0;0), А(-1;1), С(2;-1) до прямой х-2у+1=0.
15. Даны уравнения сторон треугольника х+3у-7=0 (АВ), 4х-у-2=0 (ВС) и 6х+8у-35=0 (АС). Найдите длину высоты, проведенной из вершины В.