Свойства умножения матриц

Пусть , .

Найдем произведения AB и BA:

Мы видим, что AB . Этот пример показывает, что произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону.

Можно проверить, что для умножения матриц выполняется сочетательный закон:

A(BC) = (AB)C,

а так же распределительный закон

(A+B)C=AC+BC

Отметим следующий любопытный факт. Известно, что произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц это не всегда справедливо, т.е. возможен случай, когда произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если

 

 ,

то

 

Определитель матрицы.

Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков.

Пусть дана квадратная матрица второго порядка

Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число а₁₁а₂₂ а₁₂а_21.

Определитель второго порядка записывается так:

Отметим, что определитель второго порядка равен разности попарных произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Например, вычислить определители второго порядка:

a)

Решение.

а)

б) - = 0

 

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице, называется число

a₁₁ a₂₁ a₃₃+ a₂₁ a₃₂ a₁₃+ a₁₂ a₂₃ a₃₁  a₁₃ a₂₂ a₃₁  a₁₂ a₂₁ a₃₃  a₁₁ a₂₃ a₃₂.

Определитель третьего порядка записывается так:

 

 a₁₁ a₂₂ a₃₃+ a₂₁ a₃₂ a₁₃+ a₁₂ a₂₃ a₃₁  a₁₃ a₂₂ a₃₁  a₁₂ a₂₁ a₃₃  a₁₁ a₂₃ a₃₂.

 

При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правилом Сарруса). Это правило проиллюстрируем на схеме:

 

Три положительных члена определителя представляют собой произведения элементов главной диагонали (a₁₁ a₂₂ a₃₃) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (a₁₂ a₂₃ a₃₁ и a₂₁ a₃₂ a₁₃). Три отрицательных его члена есть произведения элементов побочной диагонали (a₁₃ a₂₂ a₃₁) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали (a₁₂ a₂₁ a₃₃ и a₁₁ a₂₃ a₃₂).

Например, вычислить определители третьего порядка:

; .

Решение.

 = 3

= a·c·b + b·a·c + c·b·a  c