Свойства определенного интеграла

Лекция № 5

Тема: Основные свойства определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

Вычисление определенных интегралов различными методами. Применение определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры, объемов тел.

Цели: создание благоприятных условий для изучения основных свойств определенного интеграла; познакомить с формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла; показать различные методы вычисления определенных интегралов; познакомить с практическим приложением определенного интеграла.

Свойства определенного интеграла.

1. Определенный интеграл от суммы конечного числа функций fi(x), f₂(x),...,f_n(x), заданных на отрезке [а, Ь], равен сумме определенных интегралов от слагаемых функций:

2. Постоянный множитель к подынтегральной функции можно выносить за знак определенного интеграла

3. Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определенный интеграл сохранит абсолютную величину и изменит свой знак на противоположный:

4. Если пределы интегрирования равны между собой, то определенный интеграл равен нулю:

7. Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона - Лейбница.

Общность обозначения определенного неопределенного интегралов подчеркивает тесную связь между ними, хотя определенный интеграл есть число, а неопределенный интеграл - совокупность первообразных функций. Связь между определенным и неопределенным интегралами устанавливает формула Ньютона - Лейбница.

Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятой при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Вертикальная черта с верхним и нижним пределами, стоящая справа от символа функции F(x), называется знаком двойной подстановки.

Методы вычисления определенного интеграла:

1) метод подстановки или замены переменной