Практическая работа №18

1.	3.	4.
2.	3.	5.
3.	7.	6.

Задание: Построить таблицу разностей функции , заданной таблично:

Задание: Найти значения первой и второй производных функции, заданной таблично, в точках x=a+b_n:

Задание: По табличным данным найти аналитическое выражение первой производной:

Задание: Вычислить значения первой и второй производной функции в точке , методом численного дифференцирования. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой:

Пояснения к работе:

Необходимые формулы:

Задача численного дифференцирования состоит в приближенном вычислении производных функции f(x) по заданным в конечном числе точек значениям этой функции.

Один из универсальных способов построения формул численного дифференцирования состоит в том, что по значениям функции f(x) в некоторых узлахx₀, x₁,..., x_N строят интерполяционный полином P_N(x) (обычно в форме Лагранжа) и приближенно полагают f ^(r)(x) ≈P^(r)N(x),

0 ≤ r ≤ N         

В ряде случаев наряду с приближенным равенством удается (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член R (погрешность численного дифференцирования):

f ^(r) (x) = P^(r)_N(x) + R, 0 ≤ r ≤ N

Такие формулы называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой входит величина  (h_i=x_i - x_i-1) в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования. Формулы с отброшенными остаточными членами называются просто формулами численного дифференцирования.

Формулы численного дифференцирования с остаточными членами для первой (r=1) и второй (r=2) производных в узлах, расположенных с постоянным шагом h_i≡h > 0:

r=1, N=1 (два узла): f '(x₀) = (f₁ - f₀)/h - hf ''(ξ)/2 

f '(x₁) = (f₁ - f₀)/h + hf ''(ξ)/2

r=1, N=2 (три узла): f '(x₀) = (-3f₀ + 4f₁ - f₂)/2h + h²f '''(ξ)/3        

f '(x₁) = (f₂ - f₀)/2h - h²f '''(ξ)/6         

f '(x₂) = (f₀ - 4f₁ + 3f₂)/2h + h²f '''(ξ)/3         

r=2, N=2 (три узла): f ''(x₀) = (f₀ - 2f₁ + f₂)/h₂ - hf '''(ξ)    

f ''(x₁) = (f₀ - 2f₁ + f₂)/h² - h²f ⁽⁴⁾ (ξ)/12       

f ''(x₂) = (f₀ - 2f₁ + f₂)/h² + hf '''(ξ)  

r=2, N=3 (четыре узла): f ''(x₀) = (2f₀ - 5f₁ + 4f₂ - f₃)/h² + 11h²f ⁽⁴⁾(ξ)/12

f ''(x₁) = (f₀ - 2f₁ + f₂)/h² - h²f ⁽⁴⁾⁽ξ)/12         

f ''(x₂) = (f₀ - 2f₁ + f₃)/h² - h²f ⁽⁴⁾(ξ)/12

f ''(x₃) = (-f₀ + 4f₁ - 5f₂ + 2f₃)/h² + 11h²f ⁽⁴⁾(ξ)/12   

В приведенных формулах ξ есть некоторая точка (своя для каждой из формул) из интервала (x₀, x_N). Остаточные члены этих формул находятся с помощью формулы Тейлора. При этом предполагается, что на отрезке [x₀, x_N] у функции f(x) непрерывна производная, через которую выражается остаточный член. При четном N в среднем узле для четной производной порядок точности формулы на единицу больше, чем в остальных узлах. Поэтому рекомендуется по возможности использовать формулы численного дифференцирования с узлами, расположенными симметрично относительно той точки, в которой ищется производная.

Содержание отчета

7. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.

8. Цель работы

9. Задание

10. Выполненная практическая работа в соответствии с заданием

11. Ответы на контрольные вопросы

12. Вывод

Контрольные вопросы:

1. Запишите основные задачи численного дифференцирования.

2. Запишите формулы вычисления погрешности вычислений.

3. Запишите 1-ый интерполяционный многочлен Ньютона.

4. Запишите 2-ой интерполяционный многочлен Ньютона.

5. Запишите первую и вторую формулы Ньютона в узлах для вычисления производных на краях таблицы.