Проверим значимость каждого коэффициента в уравнении регрессии

Контрольное задание вариант 16

Исследуется зависимость урожайности у зерновых культур (ц/га) от ряда факторов (переменных) сельскохозяйственного производства, а именно,

X1 - число тракторов на 100 га;

X2 - число зерноуборочных комбайнов на 100 га;

X3 - число орудий поверхностной обработки почвы на 100 га;

X4 - количество удобрений, расходуемых на гектар (т/га);

X5 - количество химических средств защиты растений, расходуемых на гектар (ц/га).

Исходные данные для 20 районов области приведены в таблице.

	y	X1	X2	X3	X4	X5
1	9,7	1,59	0,26	2,05	0,32	0,14
2	8,4	0,34	0,28	0,46	0,59	0,66
3	9,0	2,53	0,31	2,46	0,30	0,31
4	9,9	4,63	0,40	6,44	0,43	0,59
5	9,6	2,16	0,26	2,16	0,39	0,16
6	8,6	2,16	0,30	2,69	0,32	0,17
7	12,5	0,68	0,29	0,73	0,42	0,23
8	7,6	0,35	0,26	0,42	0,21	0,08
9	6,9	0,52	0,24	0,49	0,20	0,08
10	13,5	3,42	0,31	3,02	1,37	0,73
11	9,7	1,78	0,30	3,19	0,73	0,17
12	10,7	2,40	0,32	3,30	0,25	0,14
13	12,1	9,36	0,40	11,51	0,39	0,38
14	9,7	1,72	0,28	2,26	0,82	0,17
15	7,0	0,59	0,29	0,60	0,13	0,35
16	7,2	0,28	0,26	0,30	0,09	0,15
17	8,2	1,64	0,29	1,44	0,20	0,08
18	8,4	0,09	0,22	0,05	0,43	0,20
19	13,1	0,08	0,25	0,03	0,73	0,20
20	8,7	1,36	0,26	0,17	0,99	0,42

Здесь мы располагаем выборкой объемом п = 20; число независимых переменных (факторов) m = 5.

Необходимо:

- построить 5 уравнений линейной регрессии, последовательно увеличивая число факторных переменных от одной до пяти;

- определить оценки параметров в уравнениях регрессии;

- определить качество полученных уравнений регрессии и их статистическую значимость;

- оценить статистическую значимость параметров регрессии;

- построить графики остатков для полученных регрессий;

- выбрать лучшую модель;

- для этой модели рассчитать нормированные коэффициенты b_j

По каждому пункту сделать выводы.

Исходные данные для 20 районов области для варианта 16 приведены в таблице.

Вариант номер							16
	y	y'	X1	X2	X3	X4	X5
1	9,7	10,5	1,59	0,26	2,05	0,32	0,14
2	8,4	9,2	0,34	0,28	0,46	0,59	0,66
3	9	9,8	2,53	0,31	2,46	0,3	0,31
4	9,9	10,7	4,63	0,4	6,44	0,43	0,59
5	9,6	10,4	2,16	0,26	2,16	0,39	0,16
6	8,6	9,4	2,16	0,3	2,69	0,32	0,17
7	12,5	13,3	0,68	0,29	0,73	0,42	0,23
8	7,6	8,4	0,35	0,26	0,42	0,21	0,08
9	6,9	7,7	0,52	0,24	0,49	0,2	0,08
10	13,5	14,3	3,42	0,31	3,02	1,37	0,73
11	9,7	10,5	1,78	0,3	3,19	0,73	0,17
12	10,7	11,5	2,4	0,32	3,3	0,25	0,14
13	12,1	12,9	9,36	0,4	11,51	0,39	0,38
14	9,7	10,5	1,72	0,28	2,26	0,82	0,17
15	7	7,8	0,59	0,29	0,6	0,13	0,35
16	7,2	8	0,28	0,26	0,3	0,09	0,15
17	8,2	9	1,64	0,29	1,44	0,2	0,08
18	8,4	9,2	0,09	0,22	0,05	0,43	0,2
19	13,1	13,9	0,08	0,25	0,03	0,73	0,2
20	8,7	9,5	1,36	0,26	0,17	0,99	0,42

Для выполнения задания используется регрессионный метод пакета «Анализ данных» MS Excel.

1) Построим уравнения линейной регрессии. Последовательно увеличивая число факторных переменных от одной до пяти.

а) от одной факторной переменной Х1

	Коэффициенты
Y-пересечение	9,571636
Переменная X 1	0,399875

у = 9,571636+ 0,399875Х1

б) от двух факторных переменных Х1 и Х2

	Коэффициенты
Y-пересечение	9,306038
Переменная X 1	0,380674
Переменная X 2	1,044196

у = 9,306038+ 0,380674Х1 + 1,044196Х2

в) от трех факторных переменных Х1, Х2 и Х3

	Коэффициенты
Y-пересечение	8,253245
Переменная X 1	0,785736
Переменная X 2	4,944653
Переменная X 3	-0,38272

у = 8,253245+ 0,785736Х1 + 4,944653Х2 – 0,38272Х3

г) от четырех факторных переменных Х1, Х2, Х3 и Х4

	Коэффициенты
Y-пересечение	7,277331
Переменная X 1	-0,23528
Переменная X 2	3,134736
Переменная X 3	0,415261
Переменная X 4	3,60087

у = 7,2773– 0,2352Х1 + 3,1347Х2 + 0,4152Х3 + 3,60087Х4

д) от пяти факторных переменных Х1, Х2, Х3, Х4 и Х5

	Коэффициенты
Y-пересечение	4,314595
Переменная X 1	-0,00613
Переменная X 2	15,54246
Переменная X 3	0,109899
Переменная X 4	4,474575
Переменная X 5	-2,93251

у = 4,3146– 0,0061Х1 + 15,5424Х2 + 0,1099Х3 + 4,4745Х4 – 2,9325Х5

2 ) определим качество уравнений регрессии

Для этого определим индекс детерминации для каждого уравнения регрессии.

а) от одной факторной переменной Х1

Регрессионная статистика
Множественный R	0,43025
R-квадрат	0,185115
Нормированный R-квадрат	0,139844
Стандартная ошибка	1,832269
Наблюдения	20

б) от двух факторных переменных Х1 и Х2

Регрессионная статистика
Множественный R	0,441693
R-квадрат	0,195093
Нормированный R-квадрат	0,044173
Стандартная ошибка	1,931481
Наблюдения	20

в) от трех факторных переменных Х1, Х2 и Х3

Регрессионная статистика
Множественный R	0,4412
R-квадрат	0,1947
Нормированный R-квадрат	0,0437
Стандартная ошибка	1,9331
Наблюдения	20

г) от четырех факторных переменных Х1, Х2, Х3 и Х4

Регрессионная статистика
Множественный R	0,697293
R-квадрат	0,486217
Нормированный R-квадрат	0,349209
Стандартная ошибка	1,593755
Наблюдения	20

д) от пяти факторных переменных Х1, Х2, Х3, Х4 и Х5

Регрессионная статистика
Множественный R	0,719239
R-квадрат	0,517304
Нормированный R-квадрат	0,344913
Стандартная ошибка	1,599007
Наблюдения	20

Чем выше индекс детерминации, тем точнее уравнение регрессии. Наивысший R-квадрат наблюдается для пятого уравнения.

3) проверим существенность связи (значимость R-квадрат)

Для этого используют критерий Фишера, который либо сравнивают с критическим значением (F > F_кр – статистически значимая связь), либо сравнивается с показателем значимости α = 0,05 (значимость F < α – статистически значимая связь). Если связь не является статистически значимой, то R-квадрат равен 0. В данном случае значимость критерия Фишера сравнивается с показателем значимости.

а) от одной факторной переменной Х1

Дисперсионный анализ
	df		SS			MS		F		Значимость F
Регрессия		1		13,7277	13,7277		4,089019		0,058282
Остаток		18		60,4298	3,357211
Итого		19		74,1575

Значимость F> α(0,05), следовательно, связь не является значимой и R-квадрат приравнивается к 0.

б) от двух факторных переменных Х1 и Х2

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	13,73942	6,869711	1,932949	0,175227
Остаток	17	60,41808	3,554005
Итого	19	74,1575

Значимость F > α, следовательно, связь не является значимой и R-квадрат приравнивается к 0.

в) от трех факторных переменных Х1, Х2 и Х3

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	14,46761	4,822536	1,292691	0,311004
Остаток	16	59,68989	3,730618
Итого	19	74,1575

Значимость F > α, следовательно, связь не является значимой и R-квадрат приравнивается к 0.

г) от четырех факторных переменных Х1, Х2, Х3 и Х4

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	4	36,05666	9,014165	3,548806	0,031476
Остаток	15	38,10084	2,540056
Итого	19	74,1575

Значимость F < α, следовательно, связь является значимой.

д) от пяти факторных переменных Х1, Х2, Х3, Х4 и Х5

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	5	38,36199	7,672398	3,000755	0,047874
Остаток	14	35,79551	2,556822
Итого	19	74,1575

Значимость F < α, следовательно, связь является значимой.

проверим значимость каждого коэффициента в уравнении регрессии

Это осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента, или по P-уровню. В данном случае Р-значение сравнивается с уровнем значимости α. Если P < α, то проверяемый коэффициент статистически значим, в противном случае Р приравнивается к 0.

а) от одной факторной переменной Х1

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	9,571636	0,55377	17,28451	1,18
Переменная X 1	0,399875	0,197749	2,022132	0,058282

Р-значение коэффициента у-пересечения меньше α, коэффициент статистически значим. Р-значение коэффициента переменной Х1 больше α, коэффициент статистически не значим, следовательно он приравнивается к 0.

б) от двух факторных переменных Х1 и Х2

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	9,306038	4,659686	1,997138	0,062075
Переменная X 1	0,380674	0,391382	0,97264	0,344369
Переменная X 2	1,044196	18,18206	0,05743	0,954872

в) от трех факторных переменных Х1, Х2 и Х3

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	8,253245	5,335734	1,546787	0,141464
Переменная X 1	0,785736	1,00069	0,785194	0,443812
Переменная X 2	4,944653	20,61449	0,239863	0,813482
Переменная X 3	-0,38272	0,866259	-0,4418	0,664543

Р-значение коэффициента у-пересечения больше α, коэффициент статистически не значим, следовательно он приравнивается к 0. Р-значение коэффициента переменной Х1 больше α, коэффициент статистически не значим, следовательно он приравнивается к 0. Р-значение коэффициента переменной Х2 больше α, коэффициент статистически не значим, следовательно он приравнивается к 0. Р-значение коэффициента переменной Х3 больше α, коэффициент статистически не значим, следовательно, он приравнивается к 0.

г) от четырех факторных переменных Х1, Х2, Х3 и Х4

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	7,277331	4,415472	1,648143	0,120105
Переменная X 1	-0,23528	0,896917	-0,26232	0,79664
Переменная X 2	3,134736	17,02131	0,184165	0,85635
Переменная X 3	0,415261	0,765405	0,542538	0,595418
Переменная X 4	3,60087	1,235129	2,91538	0,010657

д) от пяти факторных переменных Х1, Х2, Х3, Х4 и Х5

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	4,314595	5,418531	0,796267	0,439171
Переменная X 1	-0,00613	0,931671	-0,00658	0,994843
Переменная X 2	15,54246	21,50311	0,7228	0,481704
Переменная X 3	0,109899	0,832545	0,132004	0,896859
Переменная X 4	4,474575	1,543454	2,899065	0,011664
Переменная X 5	-2,93251	3,088329	-0,94955	0,358448

5) построим графики остатков для полученных регрессий

Исследование графиков остатков определяет границы применения метода наименьших квадратов, который используется для вычисления коэффициентов уравнения регрессии по наблюдаемым данным.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: