Движение внутрь: «Математический «крен» в сторону изучения действительности», часть 2

Прежде чем продолжить изложение материала, начатого в первой части, укажем, что мы собираемся (в ходе процесса изложения) обращаться к информации, представляющей для нас интерес в качестве «питательной среды» для размышлений.  Речь идёт, в том числе,  о книге, кстати, математика по образованию, П.Д. Успенского (1878 – 1947 гг.). Раз уж мы заговорили о геометрии. Ознакомимся последовательно с серьёзными, с нашей точки зрения, субъективными мнениями, представленными в книге, сопровождая их своими комментариями  (выборочно, по тексту). Под стать математику, Успенский излагает понятия, связанные с философскими категориями, в математических символах. Автор сопоставляет переменные величины (икс и игрек). Мы также делали ранее определённый уклон в сторону математических интерпретаций. Кроме того, в нашем распоряжении ещё несколько литературных источников, заслуживающих рассмотрения с позиции математического подхода. Предложим их своего рода синтез, чтобы сложилось общее представление о математических закономерностях в мироздании. Таким образом, мы делаем важный манёвр в изучении действительности.

Но почему математика? Без развития разума, тренировки различения, совершенствования мышления, мы подвержены обману. Любопытно, но данный постулат увязан с математикой. Не будет лишним напомнить, за объективизацией стоит мыслительный процесс, что ещё раз подчёркивает связь мышления со зрением. И вот, с помощью математики можно увидеть мир иначе, приготовиться к объективному восприятию того, чего касаемся только субъективно. Благодаря математике (в частности, геометрии) открываются такие знания, которые просто заставляют больше и глубже мыслить. А мы, как раз, развиваем направление – движение внутрь.

Возьмём в руки научно-популярное издание с «говорящим» названием: «Как математика ум в порядок приводит» и цитируем следующее: «Умение видеть общность структуры разнообразных систем объектов, несмотря на их внешнее различие, - признак высокой культуры математического мышления, признак упорядоченного ума». Ум – способность человека мыслить. «Ум включает восприятие, хранение и преобразование информации. Так можно говорить о математической информации. Информация  может оказаться в уме человека неупорядоченной, т.е. различные знания – изолированными, не связанными между собой и поэтому малоэффективными в качестве исходного материала для получения новых знаний» [35, с.6]. Математика способствует упорядочению ума своим порядком, своей логикой. Другими словами, математика преобразует отдельные не связанные между собой элементы (части) мыслительного процесса в систему.

Следует сказать, логика (здравый смысл) изначально сформировалась как раздел философии. Суть понятия логики соотнесём со следующим  утверждением: «Здравый смысл – субъективное восприятие жизненного опыта». Получается, логические построения ума увязаны с субъективным восприятием накопленной совокупности знаний. Между тем, логика изучается как часть математики, информатики. В определённый исторический период предмет «логика» преподавался в школах. «Здесь словом «логика» называют правильность построения мыслей. Логика есть наука о законах и формах правильного построения мыслей» [36, с.3]. То есть мысли можно строить правильно и не правильно. «Логику интересует структура мысли» [36, с.5]. Структура, как понимается, выражается во взаимосвязи частей. Человек, направляя своё сознание внутрь, имеет дело со структурными особенностями мысли. От структуры мысли зависит, следовательно, восприятие знаний, то есть обладание здравым смыслом. Что-то типа того.

Учитывая свойство ума быть упорядоченным, сама по себе мысль представляет систему. С одной стороны, опираясь на энциклопедические данные, мысль – действие ума, с другой стороны, с мыслью связано то, что появилось в результате мышления, некоторая идея. Воспользуемся следующей аналогией. Известно, молекула образуется ковалентными связями атомов. Молекула – система, тогда как атомы её структурные части. Сложно сказать, насколько допустимо прямое сопоставление, но всё же, пусть мысль станет системой, подобной молекуле, тогда как атомы выступят в роли идей, связанных между собой. Возникает впечатление, что если идеи упорядочить определённым образом, то сложится ментальная система – мысль. Причём, такая мысль будет выглядеть, если смотреть абстрактно, как своеобразный геометрический образ. И вот здесь у нас широкое поле для наших изысканий, для чего привлекаем математику в качестве вспомогательной базы знаний. Потому как представление о том, что мысль может иметь форму, для многих людей покажется, не иначе как, кощунственным.

Однако мы следуем научному пути, и не будем спешить с выводами. Сейчас, исходя из математической логики, обратимся вновь к вопросу о пропорции, который был поднят в предыдущей части. Пропорция математически есть равенство отношений пар чисел a,b и c,d. «Число - одно из основных понятий математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей». В определённой степени под числом подразумевается соответствующая количественная единица как часть целого (объекта). Поэтому числа (числовые множества) могут быть связаны в систему. Что отражает понятие пропорция? По всей видимости, если предполагать системное построение отдельных элементов в единство связей, то структуру. Пропорция – структура. Структура отличается особым видом движения, взаимодействием. Однако это такая структура, в которой имеются противоположные сегменты, и они уравновешены. Давайте сразу рассматривать математические понятия с позиции того, что они описывают объекты окружающей реальности и символизируют их. Итак, с пропорцией связано некоторое равенство. Другими словами, с нашей точки зрения, равновесную структуру можно назвать пропорцией.

Отдельно выделим (предупреждаем), всё то, о чём мы будем рассуждать ниже, является вводной частью, в какой-то степени ознакомительной и предварительной по некоторым моментам, к последующему совокупному анализу произведений, выбранных нами.

Итак, пропорция как равенство имеет, допустим, такой вид: a:b = c:d. Ну, или такой: a/b = c/d. Во всяком случае, равенство отношений читается как: «a относится к b так же, как c относится к d». Это геометрическая пропорция. Сразу напомним себе, что с понятием пропорция связаны в синонимичном значении другие понятия, такие как соразмерность, соотношение частей, гармония, симметрия. Соотношение частей (взаиморасположение составных частей) есть структура. Равномерное или соразмерное соотношение частей в системе – это, по сути, симметрия. Выше приведённое равенство можно прочитать так: «часть объекта относится к другой части объекта так же, как третья часть объекта относится к четвёртой части объекта». Из теории множеств известно, что «отношение - математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи (в частности, бинарное отношение между двумя объектами, например «=» и «<» между числами). Структура, отношение, связь между частями, являются качеством и атрибутом (стороной) системы. Части могут быть не равны друг другу. Или же части выравниваются, тогда речь идёт о пропорции.

Геометрический объект называется симметричным, если после того как он был преобразован геометрически, он сохраняет некоторые исходные свойства. То есть равновесная структура объекта не меняется, его качество остаётся прежним (в чём-то). Однако нами было сказано, если объект при отражении переходит в себя, то это вариант пропорции (симметрии). В случае отражения объект преобразуется, но сохраняется симметричность частей. Образно равенство a:b = c:d допустимо «перевернуть», тогда получим что-то типа: d: c = b:a. При чём, «отзеркаливание» - это то же, что и отражение, копирование, вид движения, соответствующее изменение, в конце концов, тип симметрии или пропорции. «Термин зеркальная симметрия употребляется также для описания соответствующего типа симметрии объекта, то есть, когда объект при операции отражения переходит в себя. Зеркальная симметрия (отражение) — движение евклидова пространства, множество неподвижных точек которого является гиперплоскостью (в случае трехмерного пространства — просто плоскостью). Это математическое понятие описывает соотношение в оптике объектов и их (мнимых) изображений при отражении в плоском зеркале, а также многие законы симметрии (в кристаллографии, химии, физике, биологии и т. д., а также в искусстве и искусствоведении)». При отражении (копировании) объекта сам объект не утрачивает некоторые свойства (качество), тем не менее, он становится, структурно преобразован. Вместе с тем, широко распространено явление структурной изомерии, когда атомный состав (количественно) не изменён, но строение частей меняется, что приводит к различию свойств. «Структурная изомерия — результат различий в химическом строении». Например, различный порядок связей атомов углерода обуславливает изомерию углеродного скелета. 

В результате различий в пространственной конфигурации молекул возникает пространственная изомерия. «Энантиомерами (оптическими изомерами, зеркальными изомерами) являются пары оптических антиподов — веществ, характеризующихся противоположными по знаку и одинаковыми по величине вращениями плоскости поляризации света при идентичности всех других физических и химических свойств (за исключением реакций с другими оптически активными веществами и физических свойств в хиральной среде)». Классический пример – правая и левая ладони, которые имеют одинаковое строение, но различную пространственную ориентацию. «Так, левая и правая руки являются зеркальными отражениями, но не могут быть совмещены друг с другом в пространстве. Подобным образом, свойством хиральности обладают молекулы, в которых отсутствуют зеркально-поворотные оси симметрии».

Отметим, хиральность является геометрической характеристикой, её можно определить путём отнесения молекулы к той или иной группе симметрии. «Многие биологически активные молекулы обладают хиральностью, причём природные аминокислоты и сахара представлены в природе преимущественно в виде одного из энантиомеров: аминокислоты, в основном, имеют l-конфигурацию, а сахара — d-конфигурацию. Две энантиомерные формы одной молекулы обычно имеют различную биологическую активность. Это связано с тем, что рецепторы, ферменты, антитела и другие элементы организма также обладают хиральностью, и структурное несоответствие между этими элементами и хиральными молекулами препятствует их взаимодействию».

Существование явления  пространственной изомерии указывает  на факт вращательного движения объекта. Вращение изомеров происходит во взаимно противоположенных направлениях. При этом движение в одном направлении обеспечивает взаимодействие, тогда как в противоположном направлении препятствует этому взаимодействию. И, как ранее мы выяснили для себя, понятие направление не отрывается от фактора изменения. Что-то меняется в каком-либо направлении, причём, в результате взаимодействия. Части молекулы в пространстве вращаются в том или ином направлении, при этом допускается возможность взаимодействия. Очень похоже, что  вращательное движение, связанное с молекулой и её частями, обусловлено энергетическим воздействием света. Может быть так, что процесс отражения света вращает структурные части молекулы? Другими словами, регистрируя явление пространственной изомерии, тем самым мы предполагаем наличие внешнего воздействия. Этот момент вызывает структурное изменение. Но в случаем симметрии, не смотря на динамику, сохраняется равновесие. Объект при пространственном вращательном движении не меняет форму. «Круг, повёрнутый вокруг своего центра, будет иметь ту же форму и размер, что и исходный круг. Поэтому круг называется симметричным относительно вращения (имеет осевую симметрию)».

Симметрия встречает не только в геометрии. Бывает, в математике, при преобразованиях определённого типа свойство некоторого класса (множества) математических объектов остаётся неизменным. «Пусть A — множество и G — множество отображений из A в A. Отображение f из множества A в множество B называется инвариантом для G, если для любых a принадлежит A и g принадлежит G выполняется тождество f(a)=f(g(a))». Просто укажем, термин инвариант обозначает нечто неизменяемое. «Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остаётся неизменным». Между понятиями пропорция и симметрия прослеживается определённая тождественность, когда соотношение частей находится в равновесии. Снова обратим внимание на равенство частей a:b = c:d. Где a и d называют крайними, b и c — средними членами пропорции. Придадим значения буквенным обозначениям: a – 8, b – 4, c – 6, d – 3. Получается, 8 относится к 4 так же, как 6 относится к 3. Произведя «инверсию», находим   d: c = b:a. То есть, 3 относится к 6 так же, как 4 относится к 8. В одном случае имеем 8/4 = 6/3 или 2=2. В другом случае 3/6 = 4/8 или 0,5 = 0,5. Пример своеобразной структурной «математической изомерии». Мы условно части системы поменяли местами, сохранилась пропорция, только результаты отличаются. Да, ещё здесь мы постарались учесть момент движения (вращения), как бы перевернули, а точнее, вывернули в пространстве. Это вариант «правой и левой ладони», имеющих различную пространственную ориентацию, на наш взгляд. Так, крайние члены пропорции (a и d) – «ладони». Средние члены пропорции (b и c) – тыльные стороны. Отношение ладони  к тыльной стороне левой руки (левая кисть) – a:b. Наоборот, отношение ладони  к тыльной стороне правой руки (правая кисть) - c:d. Ладонь левой руки (a) симметрично совмещается с ладонью правой руки (d). Выражением d: c = b:a мы просто кисти рук условно поменяли местами, при этом тыльная сторона (c) стала совместимой с тыльной стороной (b). Но отойдём пока от образных интерпретаций.

Наряду с геометрической пропорцией существует равенство, которое называют арифметической пропорцией. Это равенство двух разностей: a - b = c - d. Соотношение означает пропорцию, подразумевающую взаимосвязь между двумя числами одного рода (объектами, понятиями, свойствами). Дополним, в теории категорий, соотношение между свойствами, называют двойственностью. Кроме того, среди равенств выделяется вид соотношения, называемый «гармонической пропорцией» (иначе, золотой пропорцией или золотым сечением). «Если у геометрической пропорции средние члены равны, а последний член является разницей между первым и средним, такая пропорция называется гармонической: a:b = b: (a – b)». В этом случае, разложение a на сумму двух слагаемых b и a - b называется гармоническим делением или золотым сечением. «Золотое сечение – соотношение двух величин a и b, при котором большая величина относится к меньшей так же как сумма величин к большей, то есть: a/b = a + b/ a. Исторически изначально в древнегреческой математике золотым сечением именовалось деление отрезка AB точкой C на две части так, что большая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей: BC/AC = AB/BC».

Понятно, все значения a, b, c, d или x, y – переменные величины. Равенство a:b = c:d относится к геометрической пропорции. Здесь мы уже выше обозначили: a – 8, b – 4, c – 6, d – 3. Для наглядности: 8/4 = 2; 6/3 = 2, следовательно, 2 = 2. Основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних: a d = b c, или: 8 х 3 = 4 х 6. То есть: 24 = 24. Хорошо видно, все переменные имеют разные значения. Что касается, золотого сечения, в этом случае соотносятся отрезки. Относительно темы золотого сечения циркулирует много информации, но приведём лишь кратко некоторые сведения. По принципу золотого сечения строятся гармоничные формы. Золотая пропорция численно выражается значением 1,628, а в процентном округлённом значении – это деление какой-либо величины в отношении 62% и 38%. Примеров золотого сечения в природе множество. Если взять такой символ, как правильная пятиконечная звезда, то каждый в ней отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении. Тот же икосаэдр является примером золотого сечения, связанным с симметрией пятого разряда.

Что касается физических характеристик (отношения частот, амплитуд), то они также пропорциональны золотому сечению в определённых колебательных системах. Взять, скажем, простую систему из двух шариков, соединённых последовательно пружинами одинаковой жёсткости. Кстати, эта система «сойдёт» за модель волнового процесса. Отношение амплитуд колебаний и частот такой системе равняется приблизительно числу ф – 1,618. Широкую известность получила логарифмическая спираль, коэффициент роста которой равен золотому сечению. Часто она называется спиралью Фибоначчи, размер её витков постоянно увеличивается, но форма остаётся неизменной. Фибоначчи – математик средневековой Европы, предложит также ряд чисел, названный его именем. Это числовая последовательность, в которой первые два числа равны либо 1 и 1, либо 01 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Например, - 0,1, 1,2,3,5,8,13,21, 34,55,89,144,233,377 и так далее. Числа Фибоначчи и золотое сечение – основа построения формы в природе, и она отражена в организации внутреннего уха.

Почему спираль называют логарифмической? Понятие «логарифм» произошло от греческого слова «логос» - слово. К нему добавлено другое слово, обозначающее – число. В общих чертах логарифм определяется как показатель степени, в которую нужно возвести основание - а, чтобы получить число - б. Одно число умножается на себя, получается соответствующий результат. В каком-то смысле речь идёт о фрактальности. Логарифмы помогают выразить размерность для фрактала. Логарифмическая спираль – кривая, у которой касательная в каждой точке образует с радиус-вектором в этой точке один и тот же угол. Примером подобной логарифмической зависимости (шкалы) является уровень звукового давления. В теории музыки – это нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков. 12 полутонов классической октавы образуют (приближённо) – 1,059, то есть геометрическую прогрессию. Геометрическая прогрессия – последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель). Например, - 2,4,8,16,32,64,128, 256, 512, 1024, 2048 и так далее, где знаменатель -2.

Вернёмся к понятию «переменная величина», которое широко применяется в математике в качестве символа, обозначающего какое-то число. В чём их смысл? «Переменная – атрибут физической или абстрактной системы, который может изменять своё (как правило, численное) значение. Значение - объект, который обозначается, замещается, репрезентируется другим объектом — знаком». То есть «переменной» символично заменяют какой-либо объект. «В математике переменной может быть как реальная измеримая физическая величина, так и некая абстрактная величина, прямо не связанная с процессами реального мира». Вместе с тем, в физике переменная — это некоторый атрибут модели реального физического процесса, принимающий количественные значения, физическая величина. В математике переменная — это величина, характеризующаяся множеством значений, которое она может принимать. Также, аналогично переменным обозначаются неизвестные, например, в уравнении 2x=6, где буквой x обозначено неизвестное, а не переменная. Икс (х) – обозначение неизвестного объекта. Хотя, запись 2x=6 можно трактовать как предикат, принимающий значение «истина» при одних значениях  x, и значение «ложь» при других. В этом случае x — переменная. Упрощённо говоря, на место величины (х) подставляются различные значения (переменные), но только одно значение соответствует истине.

Переменная может принимать любые значения, например, из интервала от 0 до 10. Это допускается. Неизвестное «привязано» к конкретному объекту. Переменные, как правило, входят в формулу, причём формула представляет некое суждение. Формула сообщает, как искать значения переменной. Поиск неизвестного определяется уравнением (равенством определённого вида). «Равенство - бинарное отношение, наиболее логически сильная разновидность отношений эквивалентности». В широком смысле формула – всякая чисто символьная запись логического суждения (определения величины, уравнения, неравенства или тождества). Если есть неизвестное, то формула принимает вид уравнения. «Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти». Для того чтобы равенство a:b = c:d превратилось в уравнение, с уже известными нам значениями, a – 8, b – 4, c – 6, d – 3, нужно за неизвестное принять, например, любой его член. Заменим переменную b на x, причём правая часть c:d будет иметь значение 6: 3 = 2. То есть 8/x = 2. Находим значение неизвестного, которого равняется 4.

Вот такой своеобразный «длинный путь» мы проделали с целью уточнить определённый смысл равенства, пропорции, переменных и неизвестного. Сейчас вернёмся в начало и приведём несколько выдержек из книги П.Д. Успенского. Пусть этот небольшой манёвр станет (логично) продолжением рассматриваемого материала.