2020-09-24
109
Вот как древние ученые понимали пропорцию: «Две части или две величины не могут быть связаны между собой без посредства третьей... Достигается это... пропорцией (аналогией), в которой из трех чисел... среднее так относится ко второму, как первое к среднему, а также второе к среднему, как среднее к первому».
Стоит отметить особую роль среднего пропорционального. Оно содержит в себе качественное обобщение, так как выражается одним числом, а не множеством. Вот почему пропорции так существенны в выражении гармонии.
Основные пропорции:
1) арифметическая а - х = х - Ь, где среднее арифметическое
а+Ъ х = -------;
2
ах г-
2) геометрическая — = —, где среднее геометрическое x = yjab;
х Ъ
а - х а
3) гармоническая-------= —, где среднее гармоническое х находится по формуле
х - Ъ Ъ
1 \(\ \\ — = — —ь —; х 2\а Ъ)
4) золотое сечение — это деление целого на две неравные части так, чтобы целое
a + b а 41 + 1 Л
относилось к большей, как большая к меньшей: -------= —=--------= 1,618 = Ф
|
|
|
а Ъ 2
(число Фибоначчи), Ф"1 = 0,618, Ф + 1 = Ф2.
Построим квадрат. Рассечем его пополам вдоль вертикали на две равные части и получим два полуквадрата — два прямоугольника с отношением сторон 1:2. Разделим его пополам, на этот раз по диагонали. Это действие повлекло за собой развитие новых качеств: неравенство углов и несоразмерность отрезков.
Появились числа 4l и V?. Диагональ полуквадрата (л/5) и есть отношение
золотого сечения Ф: сторона 2 есть среднее между диагональю V5, увеличенной на сторону 1, и этой же диагональю, уменьшенной на сторону 1.
л/5+1 2
--------==----= 1,61803398875... = Ф
2 V5 -1
Золотое сечение (Божественная пропорция) объединяет элементы целого
(прямой угол и расстояние между вершинами 1, 2 и л/5) в целое — двойной квадрат.
| —-— | —--«, | ||
| ( | j/ | / | |
| . *1 t 2 | IV5-1, | ||
| V5+1 | |||
| | VS*1 | |||
Scan by Ne Quid Nimis
- 77 -
Средства гармонизации композиции
Свойство аддитивности линейного ряда золотого сечения состоит в том, что каждый отрезок равен сумме или разности двух смежных отрезков.
С открытием в 1202 году ряда Фибоначчи было обнаружено основное свойство золотого сечения — единство аддитивности и мультика-тивности. Это и есть суть золотого сечения. В нем ключ к явлению формообразования, открыто лежащий на поверхности математического знания. Но чтобы увидеть эту особенность, потребовалось сначала обнаружить механизм формообразования индуктивным путем.
В математике понятие «аддитивность» означает, что в числовом ряду Ф1, Ф2, Ф3, Ф4... Фn-1, Фn каждый последующий член равен сумме двух предыдущих. Причем за начало такого ряда можно принять любые два числа, например 0 и 1, 1 и 3 или 1 и 4 и т. д.
|
|
|
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610...
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207... 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, 157, 254, 411, 665, 1076, 1741, 2817... Мультипликативность означает, что в числовом ряду Ф1, Ф2, Ф3, Ф4... Фn-1,
Фn все члены ряда связаны в геометрическую прогрессию: Ф1: Ф2 = Ф2: Ф3 = Ф3: Ф4 =...= Фn-1: Фn = const.
Число золотого сечения, соединяющее свойства аддитивности и мультипликативности, находится как общий корень двух уравнений:
а + b = с (аддитивность)
а: b = b: с (мультипликативность),
в которых целое «с» представлено состоящим из двух частей а + b. Отношение золотого сечения — широко распространенная закономерность организации живой природы, которая за единством аддитивности и мультипликативности скрывает глобальный принцип построения мироздания.
Понятие аддитивности свидетельствует о том, что целое структурно... Понятие мультипликативности означает, что на все части структурно организованного целого распространяется одна и та же закономерность роста.
Например, в природе золотое сечение распространено очень широко — как числовая характеристика членения стеблей растений, их расположения на стволе, закручивания спиралей подсолнечника, описание пропорций человеческого тела, строения раковины, яйца, яблока и т. д.
Scan by Ne Quid Nimis
- 78 -
