Для деревянных и пластмассовых конструкций

Основы нормирования прочностных характеристик материалов

Прочность конструкционных материалов представляет собой непрерывную случайную величину. Обычно принято считать, что она распределяется по нормальному (Гауссовскому) закону, но существует также мнение о лучшем соответствии ее в определенных случаях распределению Вейбулла.

На рис. 1 показана симметричная кривая плотности нормального распределения прочности, асимптотически приближающаяся к нулю для бесконечно больших и малых значений прочности. Отрицательные значения прочности смысла не имеют, но этой несообразностью пренебрегают из-за очень малой вероятности появления таких значений.

Рис. 1 Кривая плотности вероятностей нормального распределения р (σ^пч) непрерывной случайной величины - предела прочности σ ^пч

t = 1,65 для нормативного сопротивления R ^н (при получения обеспеченности 0,95 на левом и правом концах графика следует отсечь площадь 0,05 или, что то же, 5 % общей площади под кривой);

t = 2,33 для расчетного сопротивления R ^A, установленного с обеспеченностью 0,99 соответственно отсекается по 1 % общей площади.

Плотность нормального закона распределения p (σ^пч) есть первая производная от функции распределения (закона Гаусса)

Здесь:

σ ^пч – значения предела прочности древесины;

- математическое ожидание (среднее выборочное значение) предела прочности;

S – среднеквадратичное (стандартное) отклонение – квадратный корень из дисперсии;

R – значение нормативного или расчетного сопротивления древесины (на рисунке показано определение нормативного сопротивления отсечением слева 0,05 площади под кривой плотности, которая всегда равна 1);

t = 1,645 (принято в нормах 1,65) при односторонней обеспеченности ≥0,95 для вычисления нормативного сопротивления R ^н (квантиль в предполагаемой статистической функции распределения с обеспеченностью 0,95);

t = 2,326 (принято в нормах 2,33) квантиль при односторонней обеспеченности 0,99 для вычисления расчетного сопротивления R ^A («А» - режим стандартного нагружения в процессе испытания образцов древесины)

При небольших объемах выборок данных, получаемых, например, в учебных лабораторных практикумах или при испытании образцов, отобранных из эксплуатируемых конструкций, применение нормального закона некорректно. Вместо него используется t -распределение Стьюдента

График функции плотности t -распределения Стьюдента симметричен, а его форма напоминает форму колокола, как у стандартного нормального распределения, но он ниже и шире (рис. 2). Высота и ширина этого колокола зависит не только от свойств испытываемого материала, но также и от числа испытанных образцов в обрабатываемой выборке n или, что то же, от числа степеней свободы v =(n –1). Это число на 1 меньше, поскольку одно значение – математическое ожидание есть вполне определенное (неслучайное) значение. На рис. 2 показаны графики плотности вероятностей распределений Гаусса и Стьюдента при разных значениях степеней свободы v от 1 до 10.

Рис. 2 Графики плотности вероятностей распределений Стьюдента и Гаусса

зеленые – распределения Стьюдента при увеличении числа степеней свободы v от 1 до 9;

красный – при v =10;

синий - стандартного нормального распределения, чему соответствует v =∞.

Среднее выборочное значение

Среднеквадратичное отклонение (оно же среднеквадратическое, стандартное отклонение или просто «стандарт») обычно в матстатистике обозначается буквой σ (вспомним, например, «правило трех сигм», показанное ниже на рисунке), но в науках о прочности этой же буквой обозначается нормальное напряжение. Поэтому для стандартного отклонения используют чаще всего букву S.

Приведенная далее таблица включает значения параметра t для распределений Стьюдента с v =(n –1) степенями свободы для ряда односторонних или двусторонних критических областей. Очевидно, что односторонней обеспеченности «по минимуму» 0,95 для нормативного сопротивления соответствует двухсторонняя обеспеченность 0,90 (см. выше рис. 1).

Распределение Стьюдента с бесконечным количеством степеней свободы (последняя строка таблицы) – это нормальное распределение.

Односторонний		75%	80%	85%	90%	95%	97.5%	99%	99.5%	99.75%	99.9%	99.95%
Двухсторонний		50%	60%	70%	80%	90%	95%	98%	99%	99.5%	99.8%	99.9%
n	v = n -1	Значение t
2	1	1.000	1.376	1.963	3.078	6.314	12.71	31.82	63.66	127.3	318.3	636.6
3	2	0.816	1.080	1.386	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925	14.09	22.33	31.60
4	3	0.765	0.978	1.250	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	7.453	10.21	12.92
5	4	0.741	0.941	1.190	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	5.598	7.173	8.610
6	5	0.727	0.920	1.156	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032	4.773	5.893	6.869
7	6	0.718	0.906	1.134	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	4.317	5.208	5.959
8	7	0.711	0.896	1.119	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.029	4.785	5.408
9	8	0.706	0.889	1.108	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355	3.833	4.501	5.041
10	9	0.703	0.883	1.100	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250	3.690	4.297	4.781
11	10	0.700	0.879	1.093	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	3.581	4.144	4.587
16	15	0.691	0.866	1.074	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.286	3.733	4.073
21	20	0.687	0.860	1.064	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845	3.153	3.552	3.850
26	25	0.684	0.856	1.058	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787	3.078	3.450	3.725
31	30	0.683	0.854	1.055	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750	3.030	3.385	3.646
41	40	0.681	0.851	1.050	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704	2.971	3.307	3.551
51	50	0.679	0.849	1.047	1.299	1.676	2.009	2.403	2.678	2.937	3.261	3.496
61	60	0.679	0.848	1.045	1.296	1.671	2.000	2.390	2.660	2.915	3.232	3.460
81	80	0.678	0.846	1.043	1.292	1.664	1.990	2.374	2.639	2.887	3.195	3.416
101	100	0.677	0.845	1.042	1.290	1.660	1.984	2.364	2.626	2.871	3.174	3.390
121	120	0.677	0.845	1.041	1.289	1.658	1.980	2.358	2.617	2.860	3.160	3.373
∞		0.674	0.842	1.036	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	2.807	3.090	3.291