Определение фокусных расстояний положительных и отрицательных сферических линз

Лабораторная работа № 1

 

       Цель работы: изучить методы определения фокусных расстояний положительных и отрицательных сферических тонких линз.

       Оборудование: оптическая скамья с набором рейтеров; положительные и отрицательные сферические линзы, экран, осветитель, зрительная труба, предмет-сетка, измерительная линейка.

 

       Краткая теория

       Линзы

       Сферическая линза представляет собой тело из прозрачного вещества, ограниченное двумя сферическими поверхностями, в частном случае одна из поверхностей может быть плоской, радиус кривизны в этом случае будет бесконечным. Линза, толщина которой в центре больше, чем по краям, называется фокусирующей, собирающей или положительной. Линза, у которой толщина в центре меньше чем у краёв называется рассеивающей или отрицательной. Данное утверждение справедливо, если показатель преломления материала линзы больше чем у окружающей среды.

 

Рис. 1.1. Ход лучей в собирающей (а,б) и рассеивающей (в) линзах

 

       Линза, толщина которой мала по сравнению с радиусами кривизны образующих её поверхностей называется тонкой линзой. В точке C (рис. 1.1.) расположен оптический центр линзы, проходя через который любой луч не изменяет своего направления. Любая прямая, проходящая через оптический центр называется оптической осью. Кроме того, если она проходит через центры кривизны образующих линзы сферических поверхностей, то она называется главной оптической осью. Плоскость L, проходящая через оптический центр перпендикулярно главной оптической оси называют главной плоскостью линзы.

       Фокальная плоскость линз.

       Рассмотрим собирающую тонкую линзу (рис. 1.1, а). Лучи, падающие на неё параллельным главной оптической оси пучком, после преломления пересекаются в точке F, называемой главным фокусом линзы точки, а плоскость, проходящая через эту точку перпендикулярно главной оптической оси  называется фокальной плоскостью линзы. Расстояние  CF между оптическим центром и главным фокусом называется главным фокусным расстоянием линзы и является основной её характеристикой. Оно обычно обозначается как f. Для собирающих линз главное фокусное расстояние есть величина положительная.

       Если пучок лучей будет падать на линзу параллельно какой-либо побочной оптической оси (под углом к главной), то он соберётся в точке её пересечения с фокальной плоскостью (рис. 1.1, б).

       Для рассеивающих линз лучи, падающие на неё параллельным главной оптической оси пучком, после преломления будут расходиться, а пересекаться в одной точке будут их продолжения (рис. 1.1, в). Главное фокусное расстояние в этом случае будет отрицательным. Это связано с тем, что главный фокус у них является мнимым и для его нахождение используются не сами лучи, а их продолжения.

       Кроме фокусного расстояния, линзы могут характеризоваться оптической силой D, обратной к фокусному расстоянию f, выраженному в метрах: D = 1/ f. Единицей измерения оптической силы является диоптрия (дптр). 1 диоптрия равна  оптической силе линзы и с фокусным расстоянием в 1 метр.

       Построение изображения в линзах

       Изображением любой точки в линзе будет точка пересечения всех преломленных лучей или их продолжений. В первом случае изображение действительное, во втором - мнимое. Удобно пользоваться лучами, ход которых после преломления в линзе известен:

       - луч, падающий на линзу параллельно главной оптической оси, после преломления в линзе проходит через главный фокус для собирающей линзы или  его продолжение пройдет через мнимый фокус для рассеивающей линзы;

       - луч, проходящий через оптический центр линзы, не преломляется;

       - луч, проходящий через главный фокус линзы, после преломления идет параллельно главной оптической оси.

       луч, падающий на линзу параллельно побочной оптической оси, после преломления в линзе проходит через точку пересечения оси с фокальной плоскостью или его продолжение пройдет через точку пересечения оси с мнимой фокальной плоскостью.

       В большинстве случаев достаточно использовать первые или любые два луча.

       Рассмотрим различные случаи построения изображений в собирающей линзе.

       Пусть точечный источник света S лежит на главной оптической оси. Выбираем произвольно луч, проходящий от точки через линзу и параллельно ему проводим побочную оптическую ось (рис. 1.2, а). После преломления в линзе, выбранный луч пройдет через точку пересечения побочной оптической оси с фокальной плоскостью. Точка пересечения данного луча с главной оптической осью даст действительное изображение S₁ точечного источника S.

 

а)	б)
в)	г)
д)	е)

 

Рис. 1.2. Построение изображений: точки на главной оптической оси (а)
 и вне главной оптической оси (б), предмета, расположенного за точкой двойного фокуса (в), предмета, расположенного в точке двойного фокуса (г),  предмета, расположенного между фокусом и точкой двойного фокуса (д), предмета, расположенного между фокусом и линзой (е)

 

       Пусть теперь точечный источник света S лежит вне главной оптической оси, тогда изображение можно построить с помощью двух лучей, первый из которых выходит из точки параллельно главной оптической оси и, после преломления, проходит через фокус линзы, а второй пересекает оптический центр линзы без  преломления. В точка пересечения данных лучей будет находится действительное изображение S₁точечного источника S (рис. 1.2, б).

       Если предмет AB расположен за точкой двойного фокуса 2F, то принцип построения  его изображения аналогичен построению изображения точки, лежащей вне главной оптической оси (рис. 1.2, в). Изображение A₁B₁ при этом получается действительным, уменьшенным и перевёрнутым. По этому принципу формируется изображение, например, в объективе фотоаппарата.

       Если предмет AB расположен в точке двойного фокуса, то его изображение A₁B₁ получится действительным, перевёрнутым, равным предмету и расположенным в точке двойного фокуса (рис. 1.2, г).

       Если предмет AB расположен между фокусом и точкой двойного фокуса, то его изображение A₁B₁ получится действительным, перевёрнутым и увеличенным. По этому принципу формируется изображение, например, в кинопроекторе и фотоувеличителе (рис. 1.2, д).

       Если предмет AB расположен в фокусе, то лучи, как проходящий через оптический центр, так и преломленный пойдут параллельно и изображение будет удалено в  бесконечность. Иными словами изображения не будет, однако его можно увидеть с помощью зрительной трубы, настроенной на бесконечность.

       Если предмет AB расположен между оптическим центром линзы и фокусом, то лучи, прошедший через оптический центр и преломленный, будут расходиться и точка пересечения будет находиться на их мнимых продолжениях, направленных в сторону предмета. Таким образом, его изображение A₁B₁ будет мнимым, прямым и увеличенным. На этом принципе работает лупа (рис. 1.2 е).

       Если предмет расположен в бесконечности, то лучи пересекутся в фокусе, а изображение сведётся к точке (рис. 1.1, а).

       Рассеивающая линза дает уменьшенное изображение предмета AB, мнимое и прямое. При этом луч, вышедший параллельно главной оптической оси, будет преломляться в направлении от этой оси. Изображение A₁B₁будет находиться в точке пересечения мнимого продолжения преломленного луча, которое должно проходить через фокус, расположенный со стороны предмета, с лучом проходящим через оптической центр линзы.

 

       Формула тонкой линзы

       Формула тонкой линзы связывает расстояние от предмета до оптического центра линзы a, расстояние от оптического центра до изображения b с фокусным расстоянием f (рис. 1.3).

 

 

Рис. 1.3. К выводу формулы тонкой линзы

 

       Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C.Треугольник ABC подобен треугольнику A₁B₁C. Из этого подобия следует, что

 

                                АВ/A₁B₁ = а/b                                             (1.1)

 

       Треугольник CDF подобен треугольнику  B₁A₁F. Из их подобия следует, что

                                CD/A₁B₁ = f/ b-f                                          (1.2)

 

или, поскольку CD = АВ, и учитывая (1.1)

 

       АВ/A₁B₁ = а/b = f/ b-f или аb = аf + bf,                                     (1.2¢)

 

откуда, поделив на = аbf, получим формулу тонкой линзы:

 

                                1/ а + 1/b = 1/f                                             (1.3)

 

       Расстояния a, b и f от линзы до действительных точек берутся со знаком плюс, а от линзы до мнимых точек - со знаком минус.

       Отношение размера изображения к линейному размеру предмета называют линейным увеличением линзы.

           

       Аберрации линз

 

       При рассмотрении прохождение света через тонкие линзы, мы ограничивались параксиальными световыми пучками (т.е. пучок лучей, приходящих на поверхность был очень узким и образовывал очень малые углы с оптической осью или нормалями к разделяющим поверхностям). Кроме этого считалось, что показатель  преломления материала линзы не зависит от длины волны падающего света. В реальных же оптических системах эти условия не выполняются и в них возникают искажения изображения, называемые аберрациями (или погрешностями).

 

       Сферическая аберрация

       Если расходящийся пучок света падает на линзу, то параксиальные лучи после преломления пересекаются в одной точке, а лучи, более удаленные от оптической оси, ближе к линзе. В результате изображение светящейся точки на экране, перпендикулярном оптической оси, будет иметь вид расплывчатого пятна. Это связано с тем, что лучи проходящие через центральный участок линзы, проделывают в стекле более длинный путь, чем лучи проходящие через периферический участок, поэтому фокусируется в разных плоскостях. Для устранения этой аберрации необходимо либо уменьшить апертуру светового пучка, либо усложнить оптическую систему, включая в нее дополнительно отрицательную линзу.

       Кома

       Если через оптическую систему проходит широкий световой пучок образующий с осью небольшой угол, то получаемое изображение этой точки будет в виде вытянутого освещенного пятнышка, напоминающего кометный хвост. Поэтому, такая погрешность называется комой. Фокусные расстояния для лучей пучка, проходящих через разные зоны линзы, различны, чем и обусловлено разное поперечное увеличение смещенных в сторону от главной оптической оси изображений, сформированных периферийными зонами линзы. Устранение комы производится комбинацией положительных и отрицательных линз, так же, как и сферической аберрации.

       Дисторсия

       При больших углах падения лучей на линзу линейное увеличение для точек предмета, находящихся на разных расстояниях от главной оптической оси, несколько различается. В результате нарушается геометрическое подобие между предметом и его изображением. Это явление называется дисторсией. Дисторсия бывает подушкообразной, если увеличение возрастает с удалением от оптической оси и бочкообразной, если увеличение с удалением от оптической оси убывает.

       Хроматическая аберрация

       При сложном составе света, коэффициента преломления вещества линзы зависит от длины волны вследствие явления дисперсии и лучи различных участков спектра, составляющие белый свет, преломляются на различные углы. Наибольшее фокусное расстояние имеют красные лучи, наименьшее - фиолетовые. Поэтому изображение будет размыто и окрашено по краям. Это явление называется хроматической аберрацией. Для его устранения комбинируют собирающие и рассеивающие линзы из различных стекол, благодаря чему можно совместить фокусы двух (ахроматы) и трех (апохроматы) различных цветов. Как правило, стремятся исправить одновременно и сферическую, и хроматическую аберрации. Такие оптические системы называются апланатами.

       Астигматизм

       Монохроматическая аберрация, состоящая в том, что изображение точки имеет вид пятна

эллиптической формы, которое, в зависимости от расстояния экрана до оптического центра линзы вырождается либо в вертикальную, либо в горизонтальную прямую, называется астигматизмом. Астигматизм возникает, когда симметрия оптической системы по отношению к пучку света нарушена. При такой аберрации линзы создают изображение, в котором контуры и линии, ориентированные в разных направлениях, имеют разную резкость. Астигматизм исправляется подбором радиусов кривизны линз, их фокусных расстояний и материалов. Системы, исправленные на сферическую и хроматическую аберрации и астигматизм, называются анастигматами.

 

       Описание экспериментальной установки

       В представленной работе лабораторная установка (рис. 1.4) представляет собой оптическую скамью 1. На скамье установлены рейтеры 2, которые можно перемещать вдоль неё. В рейтерах установлены осветитель 3, стойка с линзой 4 и экран 5. В осветитель вставлены светофильтр и пластинка с изображением сетки, играющей роль предмета.

 

Рис. 1.4. Схема экспериментальной установки

 

       При перемещении рейтера с оптическими элементом вдоль скамьи, зажимной винт следует ослаблять лишь слегка, чтобы не было перпендикулярного скамье смещения. Перемещая рейтер, прижимайте его к скамье со стороны, противоположной винту, где у него имеются опорные поверхности.

       Перед выполнением работы следует убедиться в параллельности оптических осей линз ребру оптической скамьи. Отсчет расстояний между деталями оптической скамьи производится по указателям на основании рейтеров с помощью линейки. Перед началом измерений центры линз и, соответственно, их оптические оси необходимо выставить на одну линию, которая будет оптической осью установки. Она должна быть параллельна ребру оптической скамьи. На одном конце оптической скамьи установите  осветитель 3. Затем поставьте на скамью рейтер с экраном 5, придвинув его почти вплотную к осветителю. Отрегулируйте положение экрана так, чтобы яркое пятно, создаваемое осветителем, находилось примерно в его центре. Чтобы избежать путаницы с ориентацией рейтеров, при повторной установке их на скамье, придерживайтесь простого правила: винты, крепящие рейтеры на скамье всегда должны располагаться со стороны экспериментатора.

 

       Порядок выполнения работы

       При выполнении работы не следует касаться поверхности линз пальцами. Царапины, пыль и отпечатки пальцев на стекле рассеивают свет и ухудшают чёткость изображения. Берите линзы только за оправу или стойку.

 

       Задание 1. Определение фокусного расстояния положительной линзы методом измерения расстояний

       Фокусное расстояние тонкой положительной линзы можно определить из формулы (1.3), измеряя расстояния от предмета (осветителя) до линзы a и от линзы до экрана b (рис. 1.3). Для этого осветитель устанавливается на одном из концов оптической скамьи, а экран на расстоянии L > 4f от него. В этом случае, перемещая линзу, установленную между ними, можно увидеть два чётких изображения на экране: увеличенное и уменьшенное. Расстояния a и b измеряются для обоих положений линзы, при которых получается чёткое изображение предмета. Опыт повторяют не менее 10 раз, изменяя расстояние L.

       Если построить график зависимости 1/a от1/b, то, согласно формуле (1.3.), мы получим прямую пересекающую оси координат в точке 1/f. Из указанной зависимости, можно определить f.

 

       Задание 2. Определение фокусного расстояния положительной линзы методом Бесселя

       В способе, описанном в задании 1, очень важным является то, чтобы указатель на рейтере линзы соответствовал её середине. Рассмотрим способ, в котором можно избежать данной проблемы. Данный способ носит название метод Бесселя.

       Пусть, как и в предыдущем способе L>4f, при этом на экране можно получить два изображения предмета (рис. 1.5): увеличенное, когда расстояние от предмета до линзы равно a, а от линзы до экрана - b и уменьшенное когда расстояние от предмета до линзы равно a₁, а от линзы до экрана - b₁. Из соображений симметрии очевидно, что a=-b₁ и b=-a₁.

       Поскольку , а расстояние между двумя положениями линзами равно: ,

следовательно

                       

Рис. 1.5. Измерение фокусного положительной линзы расстояния
 методом Бесселя

                                                                           

       Таким образом, в данном опыте нам достаточно измерить расстояние между положениями линзы, при которых наблюдается четкое увеличенное и уменьшенное изображения, что удобно делать, к примеру, по одному из краёв рейтера.

 

       Задание 3. Определение фокусного расстояния положительной линзы с помощью зрительной трубы

       В этом методе определения фокусного расстояния положительной линзы используется зрительная труба, настроенная на бесконечность. Такую установку трубы проще осуществить, наводя ее на удаленный предмет (дистанция до предмета должна составлять не менее 100~м). Затем устанавливают трубу напротив осветителя, а исследуемую линзу помещают вплотную к осветителю. Плавно перемещая линзу в направлении трубы, добиваются появления в окуляре трубы отчётливого изображения предмета, которое  возникает в момент совмещении предмета с фокальной плоскостью линзы. Следовательно, расстояние между предметом и линзой соответствует её фокусному расстоянию f.