Смысл произведения и частного натуральных чисел

    Мы выяснили, что сложение и вычитание натуральных чисел связано со сложением и вычитанием величин. Возникает вопрос: с каким действием над величинами связано умножение и деление натуральных чисел? Предварительно рассмотрим задачу: купили 3 пакета муки по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?

3пак.=3·пак.=3·(2кг)=(3·2)кг. Видим, что ответ на вопрос находится умножением и связан он с переходом от одной единицы массы к другой, более мелкой.

Теорема1. Если отрезок х состоит из а отрезков длиной Е, а отрезок длины Е состоит из b отрезков, длина которых Е₁, то мера длины отрезка х при единице величины Е₁ равна а·b.

Доказательство

Х=а·Е, Е=b·Е₁, тогда число частей отрезка х, длина которых равна Е₁, будет равно а·b. Х=а·Е=а·(bЕ₁)=(а·b)Е₁.

    Итак, умножение натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице величины, более мелкой.

а·b= m_E(X) ·m_E1(E)= m_E1(X).

Задача. Объяснить смысл произведения 4·3, если числа 4 и 3 получены в       результате измерения величин.

Решение. Пусть 4= m_E(X), 3= m_E1(E) => Х=4·Е =4·(3Е₁) =(4 ·3)Е₁.

Теорема 2. Если отрезок х состоит из а отрезков длиной Е, а отрезок длины Е₁ состоит из b отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при единице длины Е₁ равна а:b. а:b= m_E(X): m_E(Е₁) =  m_E1(X)

Задача.  Обосновать выбор действия при решении задачи: «Из 12 м ткани сшили платья, расходуя на каждое по 4м. Сколько сшили платьев?»

12м=12·м=12·(  пл.)=(12· ) пл. = (12:4)пл.

    Итак, действия умножения и деления натуральных чисел связаны с переходом от одной единицы величины к другой: умножение - с переходом к более мелкой единице величины, деление - с переходом к более крупной единице величины.

    Выбор действий умножения и деления натуральных чисел при решении текстовых задач с величинами можно интерпретировать с точки зрения умножения величины на число.

В=х·А или В=А·х, причем В=А₁+А₂+…+ А_х.

Чтобы найти численное значение величины В при единице величины Е, достаточно численное значение величины А, полученное при той же единице Е, умножить на число х.

Если В=А·х, то с помощью деления можно решить две задачи:

1. Зная А и В находят число х (х=А:В, причем х =m_E(A): m_E(B). Это деление по содержанию.

2. Зная В и х, находят А (А=В:х), причем m_E(A)= m_E(B):х. Это деление на равные части.

Обосновать выбор действий в задачах:

1. 6 кг муки разложили в пакеты по 2 кг в каждом. Сколько получилось пакетов?

2. Купили 3кг моркови, а картофеля в 2 раза больше. Сколько кг картофеля купили?