Основные положения однородных величин

Натуральное число как мера величины

Нам известно, что числа возникли из потребности счета и измерения. Если для счета предметов нам достаточно натуральных чисел, то для измерения нам необходимы действительные числа. В начальной школе в качестве результата измерения выступают натуральные числа. Мы также встанем на эту позицию, определив натуральное число как меру величины. Выясним, какой смысл имеют арифметические действия над натуральными числами с этой позиции.

Натуральные числа будем рассматривать в связи с измерением положительных скалярных величин: длин, площадей, масс, времени и др.

§1. Понятие положительной скалярной величины.     

Рассмотрим два высказывания:

1.Многие окружающие нас объекты имеют длину;

2. Стол имеет длину.

Таким образом, термин «длина» применим для обозначения свойства целого класса объектов или одного объекта. Длина, это такое свойство объекта или объектов, которое проявляется в разной степени, т.е. можно сказать, что один стол длиннее другого, чего нельзя сказать о форме стола или о материале, из которого он сделан. Мы не можем сказать, что один стол «прямоугольнее» другого или «деревяннее»другого.

    Таким образом, свойство «длина»- это особое свойство объектов, которое проявляется при сравнении их по протяженности. В процессе сравнения устанавливается, что два объекта либо имеют равные длины, либо длина одного больше длины другого объекта. Такие свойства объектов будем называть величинами.

    Величины, выражающие одни и те же свойства объектов будем называть величинами одного рода или однородными величинами.

Основные положения однородных величин

1. Любые величины одного рода сравнимы: А=В либо А<В либо А>В.

2. Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: А<В и В<С => А<С.

3. Величины одного рода можно складывать А+В=С, С- однозначно определенная величина того же рода. Сложение коммутативно и ассоциативно.

4. Величины одного рода можно вычитать.                           Определение: Разностью величин А и В называется такая величина С =А-В, что А=В+С. Разность А-В существует тогда и только тогда, когда А>В.

5. Величину можно умножать на положительное действительное число, в результате получают величину того же рода х·А=В.

6. Величины одного рода можно делить, в результате получают число. Определение: Частным величин А и В называется такое положительное число х=А:В, что А=х∙В (деление определено через умножение величины на число).

Величины обладают одной особенностью, их можно оценить количественно. С этой целью величину надо измерить. Для измерения величины данного рода выбирают величину, называемую единицей измерения. Её будем обозначать Е.Если задана величина А и выбрана единица величины Е (того же рода), то измерить величину А – это значит найти такое положительное число х, что А=х·Е, х- численное значение величины А при выбранное единице величины Е или мера величины А при единице Е. Пишут х=m_Е(А).

Пример 1. А-длина отрезка а, Е- длина отрезка b, который в отрезке a укладывается 4 раза, тогда 4- мера длины отрезка а.

Пример 2. 2,6 кг= 2,6 ∙кг, 13см= 13 ·см, 16 с = 16 ∙с.

Используя это представление, можно обосновать переход от одной единицы величины к другой.

ч= ·ч= ∙(60мин)= ( ∙60)мин=25мин.

Определение. Величина, определяемая только численным значением, называется скалярной.

Определение. Величина, которая при выбранной единице измеренияопределяется положительным числом, называется положительной скалярной величиной.

Измерение величин позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к действиям над числами и наоборот.

1. Если величины А и В измерены с помощью единицы величины Е, то

А=В <=>m(A)=m(B)

A<B <=>m(A)< m(B)

A>B <=>m(A) > m(B)

2. Если величины А и В измерены с помощью единицы величины Е, то

А+В=С <=> m(A+В)=m(А)+ m(B)

Пример. А=5кг, В=3кг. =>А+В=5кг+3кг=(5+3)кг=8кг.

3. Если величины А и В таковы, что В=х∙А, а величина измерена с помощью единицы величины Е, то В=х∙А <=> m(B)=х∙ m(A)

Пример.  Если м асса В в 3 раза больше массы А и А=2кг, то В=3 ∙А=3∙(2кг) =(3∙2)кг=6кг.

Рассмотренные понятия: объект (предмет, явление, процесс), его величина, её мера, единица величины- надо уметь вычленять в текстах и задачах.

 В предложении «купили 3кг яблок»: объект- яблоки, величина-масса, единица величины –кг, мера величины -3.

    Один и тот же объект может обладать несколькими величинами: для человека – рост (длина), масса, возраст (время), процесс равномерного движения связывает три величины S=V·t.

Аксиоматическое определение величины см. стр. 275.