Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование	Вычисления интегралов с помощью таблицы интегралов и свойств интегралов
Метод подстановки (замены переменной)	,
Метод интегрирования по частям	,

 

Примеры:

Непосредственное интегрирование

1)  

На основании свойства и формулы (2), получим

2)

Проверка:

3)

 

       Метод подстановки (замены переменной)

Найти

Введем новую переменную, положив

, .

Внесем эти выражения в интеграл

Сделаем обратную замену

Проверка:

 

       Интегрирование по частям

 

Требуется найти интеграл

Положим , тогда ,

Проверка:

Определенный интеграл

Интеграл можно определить как предел интеграционных сумм

 

Определенный интеграл  функции  на отрезке	Δ                        maxΔxi→0
Геометрический смысл определенного интеграла

 

Для любой функции , непрерывной на отрезке , всегда существует определенный интеграл

Определение:

Интегралом от a до b функции  называется приращение первообразной F этой функции: F(b) – F(a) – формула Ньютона- Лейбница

                                                                                                                                     

т.е. определенный интеграл равен

                                                    разности значений первообразной

                                                      при верхнем и нижнем пределах

                                                      интегрирования.

Примеры:

1) Вычислить:

1. 2.

Решение

 

                   2

1. =     =

                     1                                                  8           8      

2.  = = +               =

                                                                           0            0             

=

 

Задание:

Найти и записать в  тетрадях для домашней работы доказательство формулы Ньютона-Лейбница.