Математический анализ

 

ЛЕКЦИИ.

 

1. Элементы теории множеств. Числ. множества. Расширенная числ. прямая. Окрестности точек.

2.    Предельные и изолированные точки. Предел функции на языке - .  

  Односторонние пределы. Предел последовательности.

3.    Свойства функций, имеющих пределы. (единственность; ограниченность; предельный                     

  переход в неравенстве; предел суперпозиции).

4.    Теорема о сжатой функции. I - ый замечательный предел. Арифметические действия

  с функциями, имеющими конечный предел. Неопределённости.

5. Б.м. и б.б.  функции, их свойства. Эквивалентные. Сравнение б.м. и б.б; шкала;

  порядки роста и малости; главные части.

6.    Монотонные функции; существование предела. Число е. II - ой замечательный предел

  и следствия из него. Таблица эквивалентных, раскрытие неопределённостей.

7.    Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций.

  Классификация точек разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

8.    Производная. Правила дифференцирования. Таблица. Геометрический и  физ. -мех. смысл у ^/.

       Касательная и нормаль к графику. Связь между существованием конечной производной

  и непрерывностью функции.

9.    Производная сложной и обратной функции. Дифференциал; свойства; инвариантность

  формы. Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование

  неявной и параметрически заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.

10.   Основные теоремы дифференциального исчисления. Формула Тейлора. Правила Лопиталя.

   Раскрытие неопределённостей с помощью формулы Тейлора и правил Лопиталя.

11.   Локальные экстремумы. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке.

   Применение средств мат. анализа для исследования функции.

12.  Окрестности точек в R_n. Предел и непрерывность функции нескольких переменных (фнп).

  Частные производные и их геометрический смысл. Полный и частные дифференциалы

  фнп. Производная сложной фнп. Производная по направлению.

13.   Производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о смешанных производных.

   Касательная плоскость и нормаль. Формула Тейлора для фнп.

14.   Экстремумы фнп. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа. Наименьшее

   и наибольшее значения функции на замкнутом множестве.

 15. Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

   Основные методы интегрирования (замена переменной; интегрирование по частям).

 16.   Интегрирование некоторых выражений, содержащих Р₂ (х). Сведения о многочленах.

   Разложение рациональных дробей на простейшие.

 17.   Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей.

18.   Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений.

19.    Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Свойства. Существование  

интеграла от непрерывной функции. 

 20.   Теорема о среднем. Формула Ньютона - Лейбница. Замена переменной.

 21.   Геометрические и физико-механические приложения определённых интегралов.

    Понятие о методах приближённых вычислений определённых интегралов.

 22.   Несобственные интегралы I - го и  II - го рода.   Свойства. Признаки сходимости. V. P.