Вычисление определенного интеграла

Теорема. Интеграл с переменным верхним пределом равен первообразной функции f(x). Если функция f (x) непрерывна на интервале [a,b], то функция

Ф(х) =

где , дифференцируема в любой внутренней точке х этого интервала, причем Ф¢(x) = f (x), то есть функция Ф(х) является первообразной функции f (x). Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Доказательство. Найдем производную функции Ф(x). Для этого вначале выберем приращение аргумента D х столь малым, чтобы точка х + D х лежала внутри отрезка [ a, b ], и найдем приращение функции Ф(х) (рис. 5.5, приращение обозначено зеленым цветом).

DФ(х) = Ф(х + D х) - Ф(х) = =

Здесь мы использовали свойство аддитивности. К полученному интегралу применим теорему о среднем (5.13)

DФ(x) = = f (с)D x, где с Î [ x, x +D x ].

Рис. 5.5. Интеграл с переменным верхним пределом.

Следовательно, = f (с). Поскольку f (x) непрерывна и, если D х ® 0, то с ® x, а Поэтому производная функции Ф(х) равна f (x)

. (5.13)

А так как производная функции Ф(х) равна f (x), то, по определению первообразной, Ф(х) первообразная. Следовательно, интеграл от функции f (x) с постоянным нижним и переменным верхним пределом х, есть одна из первообразных функции f (x) .

Теорема. Формула Ньютона – Лейбница. Если функция f (x) непрерывна на интервале [ a, b ], то определенный интеграл равен разности значений первообразной на концах промежутка

. (5.14)

Доказательство. В силу непрерывности на отрезке [ a,b ] функция f (x) интегрируема и, на основании предыдущей теоремы, имеет первообразную

Ф(x) = = F (x) + C. (5.15)

Константу С легко выразить через значение первообразной F (х) в точке а. Действительно, принимая во внимание, что

Ф(а) = = 0 (5.16)

из (5.16) получим:

- F (a) = C. (5.17)

Поскольку

Ф(b) = , (5.18)

то, подставив (5.17) в (5.18) получим формулу Ньютона – Лейбница

(5.19)

где F (x) - первообразная для функции f (x), а - знак подстановки Ньютона. Этот знак означает, что сперва в функцию F (x) подставляем верхний предел и вычитаем функцию вычисленную в точке нижнего предела.

Формула (5.19) дает следующее правило: для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную подынтегральной функции, т.е. вычислить неопределенный интеграл, а затем вычислить разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределе.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. . Следовательно, по формуле (5.19)

При вычислении определенного интеграла используются те же основные приемы, что и при вычислении неопределенного интеграла.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

= - (5.20)

Пример 2. Вычислить

Решение. Прямому вычислению данного интеграла препятствует наличие сомножителя х в подынтегральном выражении. Поскольку производная от х ’=1, то, используя (5.20), возьмем u = x. Тогда

Замена переменной в определенном интеграле. При вычислении определенного интеграла можно использовать замены, в том числе простейшие замены: линейную и «типа подведение под знак дифференциала».

= (5.21)

где x = j(t), j(a) = a, a=j^-1(a); j(b) = b, b = j^-1(b).

Пример 3. Вычислить .

Решение. Положив ln (х) = t, имеем . Если х = 1, то t = ln 1 = 0, если х = е, то t = ln е = 1. Тогда

Несобственные интегралы

Для существования определенного интеграла необходимо, чтобы промежуток интегрирования был конечен и подынтегральная функция ограничена. Когда не выполняется одно или оба эти условия, приходят к понятию несобственного интеграла.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция f (x) определена и непрерывна для всех х удовлетворяющих условию а £ х < +¥.

Рассмотрим интеграл . При изменении величины b этот интеграл будет вести себя как непрерывная функция от b. Если при бесконечном возрастании величины b существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом от функции f (x) с бесконечным верхним пределом. Таким образом, по определению

. (5.22)

Если предел в (5.22) бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл не существует или расходится.

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы с бесконечным нижним пределом

и несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами

Из определений несобственных интегралов непосредственно следует схема их вычисления: вначале находится первообразная F (x) для подынтегральной функции f (x), затем рассматривается разность пределов первообразных в точках верхнего и нижнего пределов интегрирования, т. е.

Пример. Установить, при каких значениях р сходится и при каких расходится интеграл .

Решение:

если p 1, ,

если p = 1, ,

Вывод: сходимость интеграла I зависит от значения параметра р:

если р > 1, то , т.е. интеграл сходится,

если р < 1, то , т.е. интеграл расходится,

если р = 1, то интеграл расходится.

Несобственные интегралы от разрывных функций. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на [ a, b ] за исключением точки с Î [ a, b ]. Рассмотрим три случая.

1. Функция терпит разрыв в точке b. Интеграл от функции f (x) с точкой разрыва на верхнем пределе определяется так