Приложения определенного интеграла

1. Вычисление площади плоских фигур. Как уже отмечалось, если f (x) ³ 0 на отрезке [ a, b ], то определенный интеграл от функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), осью абсцисс и прямыми x = a, и x = b.

(5.23)

Если на [ a, b ] функция, как показано на рис. 5.6, меняет знак, то необходимо вычислить интеграл от модуля подинтегральной функции.

Это означает, что если на отрезке [ а, с ] Ì [ a, b ] функция f (x) < 0, то на этом отрезке берется отрицательное значение функции

Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную осью абсцисс и синусоидой на отрезке [0, 2p].

Решение. Поскольку sin(x) ³ 0 на отрезке [0, p] и sin(x) £ 0 на [p, 2p], то искомая площадь S равна

S =

= - (cosp - cos0) + (cos2p -cosp) = -(-1 –1) +(1 + 1) = 4.

Рис. 5.6. Вычисление площади при помощи определенного интеграла

Рис. 5.7. Вычисление площади плоской фигуры.

В более общем, случае требуется вычислить площадь плоской фигуры ограниченной несколькими кривыми линиями. В этом случае искомая площадь есть алгебраическая сумма площадей нескольких криволинейных трапеций. Например, как показано на рис.5.7

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функциями y ₁=½ x - 2½ и y ₂ = (рис. 5.8).

Рис. 5.8. Площадь плоской фигуры.

Решение. Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение

y ₁(х) = y ₂(х).

Возведем в квадрат левую и правую часть

или ; .

Учтем, что .

Следовательно

Вычисление длины дуги. Пусть некоторая гладкая плоская кривая описывается функцией f (x) и отрезку [ a, b ] оси абсцисс отвечает дуга AB. Произвольным образом разобьем эту дугу, как показано на рис.5.9 на n частей точками M ₀, M ₁,..., M _n. Получим элементарные дуги. Соединив каждые две соседние точки прямой, получим вписанную в дугу AB ломаную линию. Длину звена ломанной D l _i, лежащую между точками М_i M_i₊ ₁, где М_i (x_i, f (x_i)), М_i₊₁ (x_i₊ ₁, f (x_i ₊₁)) находим по формуле

Длина элементарной дуги М_i M_i ₊₁ примерно равна D l _i

. (5.24)

Просуммируем (5.24) по всем элементарным дугам, тогда длина L дуги АВ равна

Рис. 5.9. Длина дуги.

Выражение, стоящее в правой части равенства является интегральной суммой. При бесконечном увеличении числа точек разбиения , проводимого произвольным образом, если каждый раз длина самой большой элементарной дуги r будет стремится к нулю ,то длина ломаной будет неограниченно приближаться к длине дуги. Тогда длина дуги L плоской кривой

(5.25)

Если кривая задана в параметрическом виде: х = j(t), y = y(t) (a£ t £b), то длина кривой вычисляется по формуле

(5.26)

Пример 1. Найти длину дуги кривой y ² = x ³, заданной на отрезке от x = 0 до x = 1 (y ³ 0).

Решение. . Подставляя затем этот результат в (5.25), получим

Пример 2. Найти длину дуги кривой x = a cos³ t, y = a sin³ t, если t изменяется 0 до p/2.

Решение. Вначале находим производные по t

x ¢(t) = -3 a cos² t ּsin t, y ¢(t) = 3 a sin² t ּcos t

Подставляя в формулу (5.26), имеем

Вычисление объемов тел. Пусть дано тело переменного сечения, расположенной над осью ОХ (рис.5.10), ограниченное плоскостями х = а и х = b. Объем тела обозначим за V. Разделим отрезок [ a, b ] на произвольные n частей, при этом координаты точек деления удовлетворяют соотношению

x ₀= a < x ₁< x ₂<... < x _{i -1}< x _i<... < x _n = b.

Рис. 5.10. Объем тела переменного сечения.

В точках деления проведем плоскости, перпендикулярные оси О Х. Тело разделится на n узких слоев (элементарных объемов) шириной Δ x _i = x _i - x _i_-1(i = 1, 2,…, n). Объем каждого такого слоя обозначим как Δ V _i. На каждом промежутке [ x _i_-1, x _i] выберем произвольную точку . Обозначим за S (x *_i) площадь поперечного сечения тела в этой точке. Тогда

(5.27)

Просуммируем (5.27) по всем i, получим интегральную сумму

(5.28)

Увеличим число разбиений n. При этом каждый раз обязательно должна уменьшатся длина наибольшего из разбиений Δ x _i, т.е. ранг дробления r должен стремится к нулю. Тогда объем тела переменного сечения V,будет равен пределу интегральной суммы при и

(5.29)