Когда фактическая толщина снятого верхнего слоя почвы меньше
Проектной величины
Проектное значение толщины снимаемого слоя почвы равно 45,5 см.
Тип почвы - черноземы обыкновенные.
Требуемый уровень надёжности РН =0,98. Следовательно, допустимый риск деградации почвы равен 0,02, а расчётный квантиль имеет значение u=2,050 (см. описание к формуле (1.14)).
В табл.1.4 показаны результаты вычисления снятой толщины плодородного слоя в 38 точках, которые получены по данным нивелирования по квадратам, выполненного до и после снятия растительного слоя. Данные точки расположены в вершинах углов квадратов на всём участке отчуждения земель под строительство автомобильной дороги или другого инженерного сооружения (инженерные коммуникации, здания и промышленные сооружения).
Формулы теории риска изменяются с изменением закона распределения исследуемого параметра (в данном случае исследуемый параметр – это толщины снятого плодородного слоя). Поэтому, для обоснования закона распределения данного параметра, выполним некоторые преобразования исходных данных, показанных в табл. 1.4.
|
|
Начинают преобразовывать статистические данные с определения среднего значения и среднеквадратического отклонения толщин снимаемого плодородного слоя. Затем устанавливают на основе критерия Пирсона соответствие гистограммы распределения толщин плодородного слоя нормальному распределению, так как чаще всего данное распределение соответствует многим строительным параметрам и определяют риск деградации снимаемого слоя, в случае если параметры распределения толщин плодородного слоя не будут соответствовать проектным требованиям.
Таблица 1.4
Толщина снятия плодородного слоя почвы (Н)
№ точек | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
Н, см | 57 | 54 | 55 | 52 | 48 | 47 | 47 | 46 | 43 | 43 | 42 | 39 | 38 | 38 | 35 | 37 | 35 | 31 | 30 |
№ точек | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |
Н, см | 28 | 32 | 33 | 34 | 37 | 38 | 39 | 38 | 40 | 38 | 37 | 39 | 38 | 38 | 45 | 53 | 49 | 57 | 60 |
Статистическая обработка толщины снятия плодородного слоя почвы приведена в табл. 1.5.
Примечание к расчету параметров в табл. 1.5. При применении мультипликативного метода и метода суммирования, измеренные значения толщин растительного слоя распределяют по разрядам (табл.1.5) в зависимости от частоты их появления в графе 3 «абсолютная частость». Вычисление данных графы 4 основывается на значениях графы 3. Первое значение переносится из графы 3 в графу 4, а затем к нему прибавляется второе значение из графы 3. Суммирование значений продолжают до последнего числа в графе 3. Контроль вычислений в графе 4 заключается в равенстве последнего числа этой графы и суммарного количества измеренных (или вычисленных) величин n. Данные графы 5 вычисляются так же, как данные графы 4 (по данным 4 графы). Контроль вычислений графы 5 подобен предыдущему контролю (см. табл. 1.5). Расчет среднего значения и среднеквадратического отклонения исследуемого параметра показан под табл. 1.5, с использованием её обозначений.
|
|
Таблица 1.5
Пример статистической обработки толщины снятия плодородного слоя почвы
Разряды интервалов | Середина разряда Um | Абсолютная частота, hm | Частичная сумма, Sm | Накопленная частота, Т | Середина условного интервала, lm | Произведения | ||
lm· ·hm | lm2 | lm2 ·hm | ||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
25÷31 | 28 | 3 | 3 | 3 | -2 | -6 | 4 | 12 |
31÷37 | 34 | 8 | 11 | 14 | -1 | -8 | 1 | 8 |
37÷43 | 40= XА | 14 | 25 | 39 | 0 | 0 | 0 | 0 |
43÷49 | 46 | 6 | 31 | 70 | 1 | 6 | 1 | 6 |
49÷55 | 52 | 4 | 35 | 105 | 2 | 8 | 4 | 16 |
55÷61 | 58= UК | 3 | 38 | 143 | 3 | 9 | 9 | 27 |
d=6 | n =38 | M =143 | ∑Т =374 | В =9 | А =69 |
Выполним обработку данных табл. 1.5 с использованием известных приемов математической статистики:
Метод суммирования:
- среднее значение:
см;
- дисперсия:
;
- среднеквадратическое отклонение: =8,07 см.
Мультипликативный метод:
- среднее значение:
см;
- дисперсия:
;
- среднеквадратическое отклонение: =8,07 см.
Сравнение эмпирического распределения с теоретическим законом распределения по критерию Пирсона показано в табл.1.6.
Вероятность Pi в табл. 1.6 вычисляли по формуле Симпсона:
. (1.20)
В формуле (1.20) применяли параметр m =2. Тогда
, (1.21)
где b и a – правая и левая граница толщины снятия плодородного слоя почвы в разрядах интервалов (см. табл. 1.6);
|
|
|
где а – нижняя граница толщин в разряде интервалов (например, а=Нmin=31см), а b – верхняя граница толщин в разряде интервалов (например, b=Нmax=37см).
Таблица 1.6
Сравнение фактического распределения толщин снятого плодородного слоя почвы с законом нормального распределения
Разряды интервалов | Абсолютная частота, hm | Вероятность попадания измерений в разряд, Pi | Теоретическое количество измерений в разряде (nt=Pi·n) | |
< 25 | 0 | 0,0152 | 0,5776 | 0,5776 |
25÷31 | 3 | 0,0695 | 2,6410 | 0,0488 |
31÷37 | 8 | 0,1807 | 6,8666 | 0,1871 |
37÷43 | 14 | 0,2802 | 10,6476 | 1,0555 |
43÷49 | 6 | 0,2600 | 9,8800 | 1,5237 |
49÷55 | 4 | 0,1385 | 5,2630 | 0,3031 |
55÷61 | 3 | 0,0446 | 1,6948 | 1,0052 |
> 61 | 0 | 0,0082 | 0,3105 | 0,3105 |
d=8 | n =38 | ∑Pi =0,997 | ∑ =5,0115 |
При сравнении с нормальным законом распределения также применяли формулу вида (расчёт по формуле (1.23) значительно проще, чем по формуле (1.21), но даёт одинаковые (такие же) результаты):
, (1.23)
где Ф(и) – функция Лапласа;
Нi(min) и Нi+1(max) – левая и правая граница толщины снятия плодородного слоя почвы в разрядах (см. табл.1.6);
Нcр и σН - средняя толщина снятия плодородного слоя почвы и среднеквадратическое отклонение толщины снятия плодородного слоя почвы.
На рисунке 1.1 показано сравнение гистограммы (толщины снятия плодородного слоя почвы) с плотностью нормального распределения.
Для теоретического распределения число степеней свободы определяли по формуле
, (1.24)
где k – число разрядов (в табл.1.6 k = 8);
r – число наложенных связей (для нормального закона распределения r=3).
Получаем ν =8-3=5. Из таблиц χ2 распределения (приложение 2) при χ2=5,0115 и ν=5 выписываем вероятность, по которой устанавливается соответствие теоретического закона распределения результатам измерений (гистограмме):
|
|
- отличное соответствие при P >0,5;
- хорошее соответствие при P =0,3÷0,5;
- удовлетворительное соответствие при P =0,1÷0,3;
- неудовлетворительное соответствие при P <0,1.
Так как для приведенного выше примера P =0,43, то соответствие гистограммы (толщины снятия плодородного слоя почвы) плотности нормального распределения следует считать хорошим.
Для сравнения теоретического и эмпирического распределения использовали также критерий Романовского
. (1.25)
Если критерий Романовского меньше 3, то гипотеза о соответствии фактической кривой распределения теоретическому закону распределения принимается. В противном случае при R≥3 делается вывод, что выбранный теоретический закон распределения не соответствует результатам измерения. Согласно этому критерию имеем
=0,004.
Так как 0,004<3, то нормальное распределение согласуется с результатами экспериментальных данных.
f(Н)
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
19 25 31 37 43 49 55 61 67, Н, см
Рис. 1.1. Гистограмма толщины снятия плодородного слоя почвы
и плотность нормального распределения
Учитывая, что , а , то данному примеру соответствует математическая модель описанная неравенством < .