Теоретическое введение к работе 4. 1

В данном месте земной поверхности все тела падают с одинаковым ускорением, обусловленным действием силы тяжести. Это ускорение называется ускорением свободного падения и обозначается g. Так как Земля не является идеальной сферой, то значение ускорения свободного падения зависит от географической широты места. Наибольшей величины оно достигает на полюсе (g = 9,83м/с²), а наименьшего – на экваторе (g = 9,78м/с²). Средним значением считается величина, равная g = 9,81м/с².

Непосредственное определение g из наблюдений свободного падения затрудняется тем, что время падения обычно мало. Поэтому для изучения g часто пользуются наблюдением свободных гармонических колебаний математического маятника.

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити. Если на длинной тонкой нити подвесить металлический шарик, масса которого значительно больше, а размеры значительно меньше, соответственно, массы и размеров нити, то такой маятник можно считать математическим.

Рисунок 4.1 – Силы, действующие на математический маятник в точке А.

Выведем шарик из положения равновесия и отпустим. На шарик будут действовать две силы: сила тяжести и сила натяжения нити . Сила направлена вертикально вниз, а – вдоль нити. Силами сопротивления пренебрегаем. Разложим на две составляющие: , направленную вдоль нити, и , направленную по касательной к траектории движения шарика (т.е. перпендикулярно нити). Равнодействующая сил и есть возвращающая сила, благодаря которой шарик движется по дуге окружности.

Под действием силы маятник начинает двигаться вниз по дуге окружности к положению равновесия. По мере движения маятника, сила , направленная к положению равновесия, уменьшается по модулю, и в тот момент, когда маятник проходит положение равновесия, она становится равной нулю. По инерции маятник проскакивает положение равновесия и поднимается вверх. Теперь составляющая меняет направление, но по-прежнему направлена к положению равновесия.

(4.1)

Знак «–» стоит потому, что и имеют противоположные знаки.

Обозначим через касательное ускорение маятника. Тогда, согласно II закону Ньютона:

(4.2)

Подставляя (4.1) в (4.2), получаем:

(4.3)

Из формулы (4.3) получаем:

(4.4)

При малых , следовательно,

(4.5)

Обозначим длину дуги через , тогда:

, (4.6)

откуда

(4.7)

Подставляя (4.7) в (4.5), получим:

. (4.8)

В уравнении (4.8) – координата шарика, – касательное ускорение; оно равно второй производной пути по времени. Тогда уравнение (4.8) можно записать в виде:

, (4.9)

где

. (4.10)

Из вида уравнения (4.9) следует, что координата (длина дуги) должна меняться со временем по закону синуса или косинуса. Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка:

, (4.11)

где – циклическая частота колебаний, связанная с периодом колебаний маятника .

Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями. Следовательно, математический маятник совершает гармонические колебания.

(4.12)

Из формулы (4.10)

(4.13)

Отсюда:

, (4.14)

где – ускорение свободного падения; – длина нити математического маятника, т.е. расстояние от точки подвеса до центра тяжести шарика. Формула (4.14) может служить рабочей формулой для определения , но для нахождения нужно знать радиус шарика.