В данном месте земной поверхности все тела падают с одинаковым ускорением, обусловленным действием силы тяжести. Это ускорение называется ускорением свободного падения и обозначается g. Так как Земля не является идеальной сферой, то значение ускорения свободного падения зависит от географической широты места. Наибольшей величины оно достигает на полюсе (g = 9,83м/с2), а наименьшего – на экваторе (g = 9,78м/с2). Средним значением считается величина, равная g = 9,81м/с2.
Непосредственное определение g из наблюдений свободного падения затрудняется тем, что время падения обычно мало. Поэтому для изучения g часто пользуются наблюдением свободных гармонических колебаний математического маятника.
Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити. Если на длинной тонкой нити подвесить металлический шарик, масса которого значительно больше, а размеры значительно меньше, соответственно, массы и размеров нити, то такой маятник можно считать математическим.
|
|
Рисунок 4.1 – Силы, действующие на математический маятник в точке А.
Выведем шарик из положения равновесия и отпустим. На шарик будут действовать две силы: сила тяжести и сила натяжения нити . Сила направлена вертикально вниз, а – вдоль нити. Силами сопротивления пренебрегаем. Разложим на две составляющие: , направленную вдоль нити, и , направленную по касательной к траектории движения шарика (т.е. перпендикулярно нити). Равнодействующая сил и есть возвращающая сила, благодаря которой шарик движется по дуге окружности.
Под действием силы маятник начинает двигаться вниз по дуге окружности к положению равновесия. По мере движения маятника, сила , направленная к положению равновесия, уменьшается по модулю, и в тот момент, когда маятник проходит положение равновесия, она становится равной нулю. По инерции маятник проскакивает положение равновесия и поднимается вверх. Теперь составляющая меняет направление, но по-прежнему направлена к положению равновесия.
(4.1)
Знак «–» стоит потому, что и имеют противоположные знаки.
Обозначим через касательное ускорение маятника. Тогда, согласно II закону Ньютона:
(4.2)
Подставляя (4.1) в (4.2), получаем:
(4.3)
Из формулы (4.3) получаем:
(4.4)
При малых , следовательно,
(4.5)
Обозначим длину дуги через , тогда:
, (4.6)
|
|
откуда
(4.7)
Подставляя (4.7) в (4.5), получим:
. (4.8)
В уравнении (4.8) – координата шарика, – касательное ускорение; оно равно второй производной пути по времени. Тогда уравнение (4.8) можно записать в виде:
, (4.9)
где
. (4.10)
Из вида уравнения (4.9) следует, что координата (длина дуги) должна меняться со временем по закону синуса или косинуса. Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка:
, (4.11)
где – циклическая частота колебаний, связанная с периодом колебаний маятника .
Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями. Следовательно, математический маятник совершает гармонические колебания.
(4.12)
Из формулы (4.10)
(4.13)
Отсюда:
, (4.14)
где – ускорение свободного падения; – длина нити математического маятника, т.е. расстояние от точки подвеса до центра тяжести шарика. Формула (4.14) может служить рабочей формулой для определения , но для нахождения нужно знать радиус шарика.
Для периодов свободных колебаний маятников двух разных длин в соответствии с формулой (4.14) получаем:
(4.15)
(4.16)
или , (4.17)
, (4.18)
Вычитая из (4.17) выражение (4.18), получаем путем простых преобразований выражение для ускорения свободного падения:
,при . (4.19)
Формула (4.19) есть рабочая формула для определения ускорения свободного падения.